2.1. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ |
|
|
|
|
63 |
|||
= σ√2π· |
tB |
e− |
2 t |
|
tB |
e− 2 |
dt, |
|
· M Z |
dt = √2π Z |
|||||||
|
M σ |
|
1 2 |
1 |
|
t2 |
|
|
где |
−∞ |
|
|
−∞ |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
tB = lg x − lg x0 .
σ
2.1.5Задачи для самостоятельного решения
Задача. 2.1.1 Урна содержит 10 черных и 15 красных мячей. Наудачу вынимаются два мяча. Составить закон распределения числа извлеченных черных мячей; найти функцию распределения F(x) и построить ее график.
|
F (x) = |
0.35, |
0 < x 6 1 |
x 0 |
1 |
2 |
||
|
|
|
0, |
x 6 0 |
|
|
|
|
Ответ: |
|
0.85, |
1 < x 6 2 |
p |
0.35 |
0.5 |
0.15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1, |
x > 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача. 2.1.2 Построить график функции F (x) и составить ряд распределения вероятностей дискретной случайной величины.
|
0, |
x 6 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0.2, −1 < x 6 2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 < x 6 3 |
|
|
|
|
|
||
F (x) = |
0.5, |
|
|
|
|
|
|||
|
. , |
3 < x |
6 |
4 |
|
|
|
|
|
016, |
x > 4 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
x |
−1 |
2 |
3 |
4 |
||
|
|
p |
0.3 |
0.1 |
0.4 |
||||
|
|
|
|
|
0.2 |
||||
Задача. 2.1.3 Установить, какая из функций
0, x 6 0
F1(x) = x − 14 x2, 0 < x 6 2
1, x > 2
или
ex, x 6 0
F2(x) = e−x, 0 < x 6 1
1, x > 1
64 ГЛАВА 2. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
является функцией распределения непрерывной случайной величины.
Ответ: первая.
Задача. 2.1.4 Случайная величина X задана плотностью распределения вида:
f(x) = |
√4A x2 |
, −2 6 x 6 2 . |
|||
|
|
0, |
x < −2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
0, − |
x > 2 |
|||
|
|
|
|
|
|
Найти значение параметра A, функцию распределения
F (x); и P (1 6 x 6 2).
Ответ: A = 1/π; F (x) = π |
|
arcsin 2 |
+ 2 |
|
, −2 6 x 6 2 ; |
|||||
|
|
0, |
|
|
|
|
|
x < 2 |
||
|
1, |
|
|
x |
π |
|
x > 2 |
|||
|
|
1 |
|
|
|
|
− |
|||
P (1 6 x 6 2) = 1/3. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Задача. 2.1.5 Какие из функций |
|
|
|
|
||||||
F1(x) = |
0, 8x 3.2, 4 < x 6 5.25 |
|||||||||
|
0, |
|
|
|
|
|
x 6 |
4 |
|
|
|
1, |
|
|
− |
|
|
x > 5.25 |
|
||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F2(x) = 0.5x 1, 0 < x 6 4 |
|
|||||||||
|
|
0. |
|
|
|
x 6 |
0 |
|
||
|
1, |
|
− |
|
x > 4 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
являются функциями распределения некоторой случайной величины X. В случае утвердительного ответа найти функцию плотности вероятности f(x) и вероятность того, что случайная величина X принимает значения на отрезке [3, 5].
Ответ: F1(x); P = 0.8; f1(x) = |
0.8, |
4 < x 6 5.25 |
|
0, |
x 6 4 |
1, |
x > 5.25 |
|
|
|
|