74 ГЛАВА 2. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Найти математическое ожидание и дисперсию.
Ответ: M1[X] = 4, D1[X] = 2, M2[X] = 0, D2[X] = 2.
Задача. 2.2.4 Пусть случайная величина X имеет плотность распределения.
|
(1/2) cos(x), |
x |
|
|
π2 |
, π2 |
|
|
0, |
· |
x / |
2 |
, 2 |
||||
f(x) = |
|
|
|
− |
π |
π |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Y = sin(2x).
Ответ: M[Y ] = 0, D[Y ] = 16/15.
Задача. 2.2.5 Найти закон распределения дискретной случайной величины X, которая имеет два возможных значения x1 и x2, причем x1 < x2. Известны математическое ожидание M[X] = 3.5; дисперсия D[X] = 0.25; вероятность значения x1 : p1 = 0.5.
Ответ: |
x |
3 |
4 |
|
p |
0.5 |
0.5 |
||
|
||||
|
|
|
|
2.3Законы распределения случайных величин
2.3.1Биномиальное распределение
Пусть производятся испытания по схеме Бернулли:
1.опыты независимы, т.е. результат каждого опыта не оказывает влияния на другие;
2.вероятность P (A) = p наступления события A в каждом опыте одна и та же.
Через X обозначим число наступлений события A в серии из n опытов.
2.3. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН |
75 |
Определение 2.5 Случайная величина X называется распределенной по биномиальному закону, если свои возможные значения она принимает с вероятностями
|
|
|
n( |
|
) = |
n |
(1 − |
) |
n−k, |
( |
|
= 0 |
|
1 |
2 |
) |
|
|
(2.20) |
|||
|
|
P |
|
k |
|
Ckpk |
|
|
p |
|
k |
|
|
, |
|
, , . . . , n . |
|
|
|
|||
Случайная величина X имеет ряд распределения |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
. . . |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
p |
(1 − p)n |
np(1 − p)n−1 |
Cn2p2(1 − p)n−2 |
Cn3p3(1 − p)n−3 |
|
. . . |
pn |
|
|||||||||||||
Замечание. Биномиальное распределение дискретно.
Числовые характеристики для биномиального распределения:
Математическое ожидание |
|
||
M[X] = n · p |
(2.21) |
||
Дисперсия |
|
||
D[X] = n · p · (1 − p) |
(2.22) |
||
Среднее квадратичное отклонение |
|
||
σ[X] = p |
|
|
(2.23) |
np(1 − p) |
|||
Функция распределения F (x) имеет вид ступенчатой |
|||
функции с разрывами в точках x = 0, 1, 2, . . . , |
n, при- |
||
чем величина скачка в точке x = m равна вероятности
Pn(m) = Cnmpm(1 − p)n−m.
2.3.2Распределение Пуассона
Определение 2.6 . Случайная величина X называется распределенной по закону Пуассона, если свои возможные значения xk, k = 0, 1, 2, . . . , n, . . . она принимает с вероятностями
Pn(k) = |
λke−λ |
, |
(2.24) |
|
k! |
||||
|
|
|
где λ — параметр распределения (однопараметрическое распределение).
76 ГЛАВА 2. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Замечания. Пуассоновское распределение является распределением дискретной случайной величины. Дискретная случайная величина X распределена по закону Пуассона, если число испытаний велико, а вероятность p появления события в каждом испытании очень мала и λ = n ·p — среднее число появлений события в n испытаниях. Случайная величина X имеет ряд распределения:
x |
0 |
1 |
2 |
3 |
. . . |
|
m |
. . . |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
e−λ |
λe−λ |
|
λ2 |
e−λ |
|
λ3 |
e−λ |
. . . |
|
λm |
e−λ |
. . . |
2! |
3! |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
m! |
|
|||||
Числовые характеристики распределения Пуассона:
M[x] = λ; D[x] = λ; σ[X] =
Отсюда следует смысл параметра λ.
√ |
|
|
(2.25) |
λ. |
|||
2.3.3Равномерное распределение
Определение 2.7 Непрерывная случайная величина X называется равномерно распределенной на [a, b], если ее дифференциальная функция распределения имеет вид:
|
1 |
, |
a 6 x 6 b |
(2.26) |
|
a |
|||
f(x) = b−0, |
x < a, x > b |
|||
Интегральная функция распределения равномерно распределенной случайной величины X имеет вид:
F (x) = |
xb−aa, |
a < x 6 b . |
(2.27) |
|||
|
|
0, |
|
x 6 a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1−, |
x > b |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.4. Графики функций f(x) и F (x) равномерного распределения
2.3. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН |
77 |
Вероятность того, что случайная величина, равномерно распределенная в интервале (α, β), принадлежащем [a, b], выражается формулой
β |
b − a |
(2.28) |
Zα |
||
P (α < x < β) = f(x)dx = |
β − α |
|
|
|
Для равномерного распределения случайной величины
X :
M[x] = |
a + b |
, |
(2.29) |
|
|||
2 |
|
|
|
т.е. математическое ожидание является серединой промежутка [a, b];
D[x] = |
(b − a)2 |
, σ[X] = |
b − a |
. |
(2.30) |
||
12 |
|
|
|
||||
|
|
2√3 |
|||||
Пример: ошибка отсчета показаний стрелочного прибора распределена равномерно на отрезке, равном цене деления.
2.3.4Экспоненциальное распределение
Определение 2.8 Непрерывная случайная величина X называется распределенной по экспоненциальному (показательному) закону, если дифференциальная функция распределения имеет вид:
f(x) = |
λe−λx, |
x > 0 |
, |
(2.31) |
|
0, |
x < 0 |
|
|
где λ — параметр распределения. Интегральная функция распределения имеет вид:
x |
f(t)dt = |
1 − e−λx, |
x > 0 |
(2.32) |
F (x) = Z |
||||
|
|
0, |
x < 0 |
|
−∞