2.3. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН |
85 |
Найдем
M[X] = |
a+b |
= |
0+0.1 |
= |
0.1 |
= 0.05. |
|
|
|
||||||
2 |
|
2 |
2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
(b−a)2 |
|
(0.1−0)2 |
|
0.01 |
|
|
|
||||||
D[X] = |
|
12 |
|
|
= |
|
|
12 |
|
= |
12 = 0.0008 |
|
|
||
P (0.03 < x < 0.07) = |
β−α |
= 0.07−0.03 |
= |
0.04 |
= 0.004. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b−a |
|
0.1−0 |
|
0.1 |
|
|
2.3.7Задачи для самостоятельного решения
Задача. 2.3.1 По данным ОТК на сотню металлических брусков, заготовленных для обработки, приходится 30 с зазубринами. Записать биномиальный закон распределения дискретной случайной величины X числа брусков с зазубринами среди случайно взятых 4 брусков. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение.
Ответ: M[X] = 1, 2; D[X] = 0.84; σ[X] = 0.916
x |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
p |
0.2401 |
0.4116 |
0.2646 |
0.0756 |
0.0081 |
|
|
|
|
|
|
Задача. 2.3.2 Магазин получил 5000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка окажется поврежденной, равна 0.0001. Найти вероятность того, что магазин получит поврежденных бутылок:
1.ровно 3;
2.менее трех;
3.хотя бы одну.
Ответ: P (x < 3) = 0.985612; P (k > 0) = 0.393469; P (k = 3) = 0.012636.
Задача. 2.3.3 Случайная величина X имеет равномерное распределение на [3; 5]. Найти дифференциальную и интегральную функцию распределения, построить их графики, найти математическое ожидание, дисперсию и P (2 < x <
4).
Ответ: M[X] = 4; D[X] = 1/3; P (2 < x < 4) = 1/2.
86 ГЛАВА 2. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Задача. 2.3.4 Непрерывная случайная величина X распределена по показательному закону, заданному интегральной функцией распределения
F (x) = |
1 − e−0.4x, x > 0 . |
|
|
0, |
x < 0 |
Найти дифференциальную функцию распределения f(x) и вероятность того, что случайная величина X в результате испытания попадает в интервал (5, 10).
Ответ: P = 0.11698.
Задача. 2.3.5 Случайная величина X распределена нормально с математическим ожиданием M[X] = A и дисперсией D[X] = σ2. Найти вероятность того, что случайная величина X отклоняется от своего математического ожидания не больше, чем на k(k = 1, 2, 3, 4) средних квадратичных отклонений.
Ответ: P1 = 0.68278; P2 = 0.9545; P3 = 0.99730; P4 = 0.999994.