2.2. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН |
69 |
2.2.3Решение задач
Задача. 2.2.1 Дан ряд распределения дискретной случайной величины X:
x |
10 |
20 |
30 |
40 |
p |
0.2 |
0.15 |
0.25 |
0.4 |
Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратичное отклонение, M[2X + 3], D[−3X + 2].
Решение.
По формуле (2.12) находим математическое ожидание:
M[X] = x1p1 + x2p2 + x3p3 + x4p4 = |
|
= 10 · 0.2 + 20 · 0.15 + 30 · 0.25 + 40 · 0.4 = |
28.5 |
M[2X + 5] = 2M[X] + M[5] = 2M[X] + 5 = 2 · 28.5 + 5 = 62.
По формуле (2.19) найдем дисперсию:
D[X] = M[X2] − m2X =
= (102 · 0.2 + 202 · 0.15 + 302 · 0.25 + 402 · 0.4) − (28.5)2 = = 945 − 812.25 = 132.75.
D[−3X + 2] = 9D[X] + D[2] = 9D[X] = 9 · ·132.75 = 1194.75 p √
σ[X] = D[X] = 132.75 = 11.52.
Задача. 2.2.2 Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение непрерывной случайной величины X, функция распределения которой
F (x) = |
43 x2 − |
41 x3, 0 6 x 6 2 |
|
|
|
0, |
x < 0 |
|
1, |
x > 2 |
|
|
|
|
|
.
Решение. Найдем плотность вероятности:
f(x) = F 0(x) = |
23 x |
|
43 x2, 0 6 x 6 2 |
|
|
|
0, |
|
x < 0 |
|
0, |
− |
x > 2 |
|
|
|
|
|
|
70 ГЛАВА 2. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Математическое ожидание найдем по формуле (2.13):
|
∞ |
|
|
|
|
|
M[X] = Z−∞ x · f(x)dx = |
x · (32x |
− |
34 )dx + Z2 ∞ |
(x · 0)dx = |
||
= |
Z−∞ (x · 0)dx + Z0 |
|||||
|
0 |
2 |
|
|
x2 |
|
= (x3/2 − 3x4/16) |20= 1.
Дисперсию найдем по формуле (2.19):
Найдем сначала математическое ожидание квадрата случайной величины:
|
|
|
∞ |
|
|
2 |
|
|
23 x − 43 x2 |
|
||
|
M[X2] = |
R |
x2f(x)dx = x2 |
dx = |
||||||||
|
2 |
|
|
|
R |
2 |
|
|
||||
|
|
|
−∞ |
|
0 |
|
|
x5 0 = |
|
|
||
|
= R0 |
23 x3 − 43 x4 dx = 83 x4 − |
3 |
56 |
|
|||||||
|
20 |
|
||||||||||
Тогда |
D[X] = 6 |
− |
1 = |
1 = 0.2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|||
Среднее квадратичное отклонение |
|
|
||||||||||
σ[X] = pD[X] = r |
5 |
= 0.4472. |
|
|
1 |
|
|
Задача. 2.2.3 Дискретная случайная величина X имеет ряд распределения:
x |
−1 |
0 |
1 |
2 |
p |
0.2 |
0.3 |
0.4 |
0.1 |
|
|
|
|
|
Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Y = eX .
Решение. M[Y ] = M[eX ] = e−1 · 0.2 + e0 · 0.3 + e1 · 0.4 + e2 · 0.1 =
= 0.2 · 0.3679 + 1 · 0.3 + 2.71828 · 0.4 + 7.389 · 0.1 = 2.2. D[Y ] = D[ex] = M (eX )2 − M2[eX ] =
=(e−1)2 · 0.2 + (e0)2 · 0.3 + (e1)2 · 0.4 + (e2)2 · 0.1 − (2.2)2 =
=e−2 · 0.2 + 0.3 + e2 · 0.4 + e4 · 0.1 − 4.84
=8.741 − 4.84 = 3.9.
2.2. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН |
71 |
Задача. 2.2.4 Дискретная случайная величина X может принимать только два значения x1 и x2, причем x1 < x2. Известны вероятность p1 = 0.2 возможного значения x1, математическое ожидание M[X] = 3.8 и дисперсия D[X] = 0.16. Найти закон распределения случайной величины.
Решение. Так как случайная величина X принимает только два значения x1 и x2, то вероятность p2 = P (X = x2) =
1 − p1 = 1 − 0.2 = 0.8.
По условию задачи имеем:
M[X] = x1p1 + x2p2 = 0.2x1 + 0.8x2 = 3.8;
D[X] = (x21p1 + x22p2) − M2[X] = (0.2x21 + 0.8x22) − (0.38)2 = 0.16.
Таким образом получили систему уравнений:
|
2x12 |
+ 8x22 |
= |
146 |
|
x12 |
+ 4x22 |
= |
73 |
|
|
|||
|
2x1 |
+ 8x2 |
= 38 |
|
x1 |
+ 4x2 |
= 19 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
(19 − 4x2)2 |
+ 4x22 |
= 73 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
x1 |
= 19 − 4x2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
x0 = 4 |
x00 |
= 3.6 |
|
|
||
|
|
− |
38x2 + 72 = 0 |
2 |
2 |
= 4.6 . |
|
|
||||||
|
5x2 |
x10 = 3 x100 |
|
|
||||||||||
Условию x1 |
<x2 удовлетворяет решение x1 = 3. x2 = 4. По- |
|||||||||||||
этому искомый закон распределения имеет вид: |
x |
3 |
4 |
|||||||||||
p |
0.2 |
0.8 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача. 2.2.5 Случайная величина X подчинена закону распределения, график плотности которого имеет вид:
Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение.
72 ГЛАВА 2. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Решение. Найдем дифференциальную функцию распределения f(x). Вне интервала (0, 3) f(x) = 0. На интервале (0, 3) график плотности есть прямая с угловым коэффициентом k = 2/9, проходящая через начало координат. Таким образом,
f(x) = |
92 x, |
0 < x < 3 . |
|
|
|
0, |
x 6 0 |
|
0, |
x > 3 |
|
|
|
|
|
Математическое ожидание:
∞ |
3 |
|
∞ |
R0 |
|
||
M[X] = |
xf(x)dx = |
|
|
−∞ |
|
x · 92 xdx + |
|
= |
x · 0dx + |
x · 0dx = |
|
R3 |
R |
3 |
R |
−∞ |
0 |
|
3 |
= 9 R0 |
x2dx = 9·3 0 = 2. |
|
|
2 |
2 |
|
|
Найдем дисперсию и среднее квадратичное отклонение:
|
2 3 |
3 |
|
|
|
∞ |
4 2 |
9 |
|
|
||
|
|
|
|
2R |
|
|
||||||
D[X] = |
M[X2] − mX2 = |
−∞ |
x2f(x)dx − 22 = |
|||||||||
|
9 R0 |
|
|
− √ |
|
0 |
− 4 = 2 |
− |
|
|||
= |
|
|
|
9·4 |
|
|
||||||
|
|
|
x dx |
4 = |
|
x |
|
|
|
4 = 0.5. |
||
σ[X] = |
p |
|
0.5 |
== 0.707. |
|
|
||||||
D[X] |
= |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача. 2.2.6 Найти математическое ожидание и дисперсию суммы очков, выпадающих на четырех игральных кубиках при одном бросании.
Решение. Обозначим A — число очков на одном кубике при одном бросании, B – число очков на втором кубике, C
— на третьем кубике, D — на четвертом кубике. Для случайных ве-
личин A, B, C, D за- |
A, . . . , D |
1 2 3 4 5 6 |
|
p |
1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 |
||
кон распределения |
|||
|
|
||
|
|
||
один. |
|
|
|
Тогда M[A] = M[B] = M[C] = M[D] = 61 ·(1+2+3+4+5+6) = |
|||
3.5 |
|
|
|