3. Оценить полученную точность найденного решения по методу Рунге-Ромберга.

В основе данного метода лежит идея того, что любое решение полученное численно можно представить как:

, где y - точное решение; - приближенное,

-некоторый коэффициент, h - шаг процесса, p - порядок точности метода.

Введя гипотезу, что - величина постоянная; вычислим решение на редеющей сетке. Для удобства редеющую сетку будем брать такую, чтобы число узлов сеток было кратным. Число кратности целое, больше 1, обозначим его k. С учётом приведённых выкладок получим систему уравнений:

После решения данной системы найдём, что погрешность будет представлена так:

Используя формулу Рунге-Ромберга оценим полученную точность для каждого найденного решения при отношении шагов h1 и h2 = 2.

1. для метода Эйлера p=2:

∆=0.0013 => шаг можно оставить или увеличить

2. для модифицированного метода Эйлера р=3:

∆=0.01 => шаг можно оставить

3. для универсального метода Эйлера р=3:

∆=0.00005 => шаг можно увеличить

4. для метода Рунге четвёртого порядка р=5:

∆=0.00005 => шаг можно увеличить

4.Сравнить методы по достигаемой точности и требованиям к ресурсам.

Метод Эйлера является простейшим методом решения задачи Коши и имеет невысокую точность, поэтому на практике его используют достаточно редко. Достичь высокой точности решения в методе Эйлера нельзя, даже если пойти на значительные затраты машинного времени (неизбежные при расчёте с малым значением шага). Необходимо иметь в своём распоряжении методы, имеющие более высокий порядок точности и позволяющие вести расчёт со сравнительно крупным шагом.

Методы Рунге-Кутта имеют несколько достоинств, определивших их популярность среди значительного числа исследователей. Эти методы легко программируются. Они обладают достаточными для широкого круга задач свойствами точности и устойчивости. Эти методы являются самостартующими и позволяют на любом этапе вычислений легко изменять шаг интегрирования. Увеличивая число вспомогательных точек, можно построить методы Рунге-Кутта любого порядка точности р. Однако уже при р>5 эти методы используются довольно редко, так как методы Рунге-Кутты высокого порядка точности часто оказываются менее эффективными по сравнению с методами Адамса того же порядка точности.

Часть 2. Решение задачи Коши на основе метод Адамса.

1. Найти решение задачи Коши на интервале (x0-X), используя метод Адамса.

В одношаговых методах после того как найдено очередное значение y_i в точке x_i значение y_i-1 отбрасывают и уже не используют в последующих вычислениях. Но можно повысить точность метода, если использовать информацию о поведении решения в предыдущих точках, то есть применить многошаговый метод. Среди многошаговых методов наибольшее распространение в практике вычислений получили методы Адамса. Недостающие значения функции вычисляются в точках, как правило, по методу Рунге-Кутта соответствующего порядка.