Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Тульский государственный университет
Кафедра математического моделирования
Работа № 5 Методы решений задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений
Выполнил: ст. гр. 520391
Глухарь
Проверил: Адамов В. И.
Тула 2011
Цель и задачи работы
Целью работы является формирование у студентов навыков построения численных моделей задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений, знаний о достигаемой точности, необходимых ресурсах и областях применения изучаемых методов.
Задачи:
изучение алгоритмов решения задачи Коши на основе группы методов Рунге.
изучение алгоритмов решения задачи Коши на основе метода Адамса.
Теоретическая справка
В основу численных методов решения задачи Коши положен алгоритм пошагового решения этой задачи на каждом из подынтервалов, на которые разбивается интервал интегрирования. При этом найденные на предыдущем этапе значения искомой функции используются на следующем интервале в качестве начальных условий. Алгоритмы ориентированы, как правило, на решение уравнений первого порядка или соответствующих систем уравнений. Уравнения более высокого порядка приводятся к системам уравнений первого порядка. В данной работе предлагается изучить два различных подхода к построению численных моделей задачи Коши: на основе методов Рунге и Адамса.
Методы Рунге. В основу положено вычисление приращения функции с использованием конечного числа членов ряда Тейлора. При этом значения производных, вычисляемых в начальных точках подынтервалов, выражаются через значения начальных условий и значения искомой функции внутри подынтервала. В зависимости от числа удерживаемых в разложении количества членов выделяют методы Рунге второго, четвёртого и т. д. порядков. Следует отметить, что каждый метод “n” порядка порождает подмножество алгоритмов, обеспечивающих получение решения данного порядка точности.
Методы Адамса. В основу алгоритма вычисления приращения на очередном подынтервале положена аппроксимация функции f(x,y), входящей в оператор дифференциального уравнения алгебраическим полиномом порядка “n”. Поэтому для начала реализации алгоритма необходимо предварительное знание искомого решения на “n” точках рассматриваемого интервала.
Точность методов зависит от порядка аппроксимирующего подынтегральное выражение полинома и расстояния между узлами.
Погрешность рассмотренных методов, складывается из погрешности метода и погрешности округлений в ходе алгебраических операций. Наиболее существенна погрешность метода, которая оценивается по специальным формулам.
Часть 1. Решение задачи Коши на основе группы методов Рунге.
Дано дифференциальное уравнение:
Составим задачу Коши:
Решение
будем искать в промежутке (0,7;3,7) с
точностью
=0,01.