1. Метод Эйлера.

Простейшим и исторически первым численным методом решения задачи Коши является метод Эйлера. Геометрическая интерпретация одного шага метода Эйлера заключается в аппроксимации решения на отрезке касательной , проведённой в точке (x_n,y_n) к интегральной кривой, проходящей через эту точку. Таким образом, после выполнения N шагов неизвестная интегральная кривая заменяется ломанной линией, для которой угловой коэффициент очередного n-го звена равен значению f(x_n,y_n).

Метод Эйлера представляет собой явный одношаговый метод и его формула имеет вид:

, i = (0,1,...,n)

Используя формулу нахождения погрешности для метода правых прямоугольников найдем шаг:

h≤(0.01*2)/(128) => h≈0.01

Диапазон изменения аргумента [0,7;3,7] разобьем на

300 равных отрезков (шаг h=0.01). Будем использовать формулу:

Получаем таблицу значений искомой функции Y(x):

№ х y 0 0.7000 1.30000 1 0.7100 1.30616 2 0.7200 1.31253 3 0.7300 1.31912 4 0.7400 1.32593 5 0.7500 1.33295 6 0.7600 1.34020 7 0.7700 1.34768 8 0.7800 1.35539 9 0.7900 1.36333 10 0.8000 1.37150 --------------------------------

№ х y ------------------------------- 290 3.6000 13.64413 291 3.6100 13.70685 292 3.6200 13.76957 293 3.6300 13.83227 294 3.6400 13.89497 295 3.6500 13.95765 296 3.6600 14.02032 297 3.6700 14.08297 298 3.6800 14.14561 299 3.6900 14.20824 300 3.7000 14.27084

График искомой функции:

2. Модифицированный метод Эйлера.

В этом методе значение функции находится по формуле:

Здесь вместо тангенса угла наклона касательной к интегральной кривой в точке, который используется в методе Эйлера, используется полусумма значений тангенсов углов наклона касательных в известной точке и искомой точке.

Также, как и в предыдущем случае, используя формулу нахождения погрешности для метода средних прямоугольников, найдем шаг:

h≤(0.01*24)/(128*3) => h=0.03

Заданный диапазон изменения аргумента [0,7;3,7] разобьем на 100 равных отрезков (шаг h=0.03).

Получаем таблицу значений искомой функции Y(x):

№ х y 0 0.7000 1.30000 1 0.7300 1.31944 2 0.7600 1.34085 3 0.7900 1.36432 4 0.8200 1.38990 5 0.8500 1.41767 6 0.8800 1.44770 7 0.9100 1.48005 8 0.9400 1.51477 9 0.9700 1.55193 10 1.0000 1.59157 ----------------------------------

№ х y ------------------------------ 90 3.4000 12.46166 91 3.4300 12.65034 92 3.4600 12.83907 93 3.4900 13.02783 94 3.5200 13.21659 95 3.5500 13.40532 96 3.5800 13.59399 97 3.6100 13.78259 98 3.6400 13.97108 99 3.6700 14.15944 100 3.7000 14.34765

График искомой функции: