Кривая нормального распределения

Значительное число законов распределения, встречающихся в практике контроля качества промышленной продукции, аппроксимируются кривой нормального закона распределения. Практически все формулы и коэффициен­ты Приложения 1, применяемые для оценки количественных признаков при контроле качества продукции, допускают аппроксимацию выборочных дан-ных кривой нормального закона распределения.

Если статистическая совокупность, подлежащая оценке, достаточно хорошо поддается такой нормализации (это устанавливается путем визуаль­ного исследования распределения выборки, желательно с помощью кри­терия согласия — см. главу 18), то в этом случае по результатам выборки

индуктивно могут быть получены определенные выводы относительно всей данной совокупности. В табл. G Приложения III приведены площади, ограниченные кривой нормального распределения, исчисленные для раз­личных коэффициентов а от X" до 3,4а. Кроме того, для иллюстрации обо­снованности этих выводов на рис. 2-9 приведены график и сокращенная таб­лица, которые могут быть использованы для анализа данных нашего приме­ра. На рис. 2-9 дано графическое изображение трех часто применяемых пра­вил, относящихся к кривой нормального распределения, именно:

1. интервал X' ± о* нормального распределения содержит 68,26% пло­щади, ограниченной кривой этого распределения;

2. интервал X^е ± 2а" нормального распределения содержит 95,46% этой площади;

3. интервал X' ± За' нормального распределения содержит 99,73% этой площади.

Заметим, что как X, так и о приведены здесь со значком прим ('), чтс в данном случае означает, что они представляют собой либо теоретическую, либо наблюденную совокупную, либо нормированную величину.

Если можно утверждать, что совокупность, из которой производится выборка, распределена нормально, то то же самое можно утверждать относи­тельно X (среднего значения выборки) и о (среднего квадратического откло­нения выборки) с оговоркой «приблизительно» и заменой термина «площадь» термином «наблюденные значения».

Таблица на рис. 2-9 представляет собой сокращенную таблицу значе­ния площадей, ограниченных кривой нормального распределения. Она может быть использована для оценки процентной доли наблюдений в интер­вале между X и ко (к — коэффициент) и между различными значениями ко. Эта таблица представляет собой ряд однонаправленных абсолютных величин, допускающих алгебраические преобразования.

На рис. 2-10 приведена та же кривая нормального распределения, нало­женная на гистограмму частот, составленную по данным нашего примера. На рисунке отчетливо видны два существенных различия между кривой и гистограммой. Первое из них заключается в том, что гистограмма дискрет­на (прерывна), тогда как теоретическая кривая нормального распределения непрерывна. Это вполне понятно, так как при построении теоретической кри­вой не приходится иметь дело с отдельными наблюдениями, последние долж­ны неизбежно приводить к дискретности. Во-вторых, если бы мы даже и по­пытались максимально приблизить гистограмму к плавной кривой, она все же отличалась бы от теоретической кривой. Этого, конечно, и следовало ожидать, так как гистограмма строится на основе выборочных данных. Но означает ли это, что соответствующее распределение не является нормаль­ным? Достаточно одного только визуального анализа для того, чтобы дать отрицательный ответ на этот вопрос. Таким образом, статистическая сово­купность, из которой была произведена выборка, фактически подчиняется нормальному закону распределения.

Исчислив на основе данных нашего примера соответствующие им сред­ние квадратические отклонения, мы можем сопоставить полученные данные с правилами распределения площади ограниченной кривой нормального рас­

пределения, сформулированными нами выше. Выполнив такое сопоставление при средних квадратических отклонениях ± 1, ± 2 и +3 на основе упоря­доченных данных, приведенных на рис. 2-5, мы получим следующие результаты:

Порядковый номер с. Единица измерениями	А'±йо	Теоретический процент наблюдений	Фактический процент наблюдений
1	От 24,10 до 45,40	68,26	73
2	От 13,45 до 56,05	95,46	95
3	От 2,80 до 66,70	99,73	100

Эти результаты говорят о том, что фактические данные близки к теоре­тическим. Поскольку такое сопоставление основывалось на выборочных данных, естественно было ожидать некоторого их расхождения с теоретиче­скими. Интуиция подсказывает, что чем больше объем выборки, тем меньше должна быть ожидаемая ошибка.

ПРИМЕНЕНИЕ КРИВОЙ ЗАКОНА НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Для перехода от физических единиц измерения к единицам среднего квадратического отклонения служит формула

Понятно, что если имеется возможность располагать только выборочными данными, то формула принимает вид

Рис. 2-11. Графическое изображение определения процента дефектных изделий.

30

Чтобы показать, как эта формула применяется на практике, предположим, что чертежом на данное изделие предусмотрен допуск 0,384 ± 0,002 дюйма. Выраженное в данных нашего примера, это требование принимает вид 40 ±

± 20, т. е. в этом «закодированном» виде верхняя граница составит 60,5, а нижняя 19,5¹. Как определить процент наблюдений (а отсюда и процент дефектных изделий), значения которых расположены выше и ниже указан­ных границ?

Пусть для верхней границы X = 60,5, X = 34,75 и о = 10,65. Тогда

Согласно рис. 2-10, площадь, заключенная между X' и 2,4а, составляет 49,18%. Площадь между X' и + оо составляет 50,00%. Разность между эти­ми двумя процентными оценками площади кривой и представляет собой искомую величину.

анализ для нижней границы дает результат

Вывод, к которому мы приходим, заключается в том, что около 0,8% изде­лий, расположенных на восходящей части кривой, дефектны. Аналогичный

и оценку дефектных изделий на нисходящей части кривой, равную примерно 8%. Общая оценка всех дефектных изделий составляет около 9%. На рис. 2-11 дается графическое изображение произведенного нами анализа.

Можно задаться целью определить, каков будет процент дефектных изделий, если значение X примет для следующей партии изделий значение X" и составит 40. Замена в вышеуказанной формуле на X' дает для к_и и к₁ соответственно значения ± 1,93. В соответствии с этими значениями коэффициентов к_и и общее количество дефектных изделий составит около 5%, как результат соответствующего осреднения двух крайних улучшенных оценок, равных 4% каждая. Графическое изображение этого анализа приве­дено на рис. 2-12.