Графическое изображение распределения частот

Приведенные данные выборочного наблюдения представляются в виде таблиц и с помощью приближенных графиков на основе произведенной груп­пировки распределения частот. Визуальное представление о статистическом распределении частот можно сделать более наглядным при помощи несколь­ких способов. На рис. 2-7 приведены некоторые из этих способов графиче­ского изображения распределения частот и соответствующие им названия.

Так, на рис. 2-7, с, где по оси ординат откладываются частоты появления наблюденных значений признака, расположенных ниже верхней границы каж­дого интервала наблюдения, плотность распределения принимает вид огивы, или, как ее часто называют, кривой «меньше, чем». Нормальное распределе­ние, которое более подробно рассматривается ниже, принимает на графиче­ской сетке огивы форму Б-образной кривой. На рис. 2-7,с? показано распре­деление, полученное в результате замены частотных характеристик наблю­денных значений признака ниже верхней границы каждого интервала наблю­дения соответствующими вероятностными оценками. Такие оценки могут быть получены с помощью следующей формулы:

Формула нормального распределения (1/\^2по') _е~ <-^х-^х">²/^2а'² на шкале сум­марных вероятностей будет представлять прямую линию. Распределения частот, которые, как это имеет место в нашем примере, являются нормаль­ными, на графической шкале суммарных вероятностей будут приближаться к прямой линии.

При построении графиков или составлении таблиц распределения частот необходимо строго придерживаться границ интервалов. Заметим, что в дан­ном примере границами интервалов соответственно являются 65—69, 60— 64, 55—59 и т. д. При этом границы смежных интервалов не должны совпа­дать друг с другом. Отметим также, что диапазон интервала, который на пер­вый взгляд'представляется равным 4 (69—65 = 4), на самом деле равен 5, так как интервал, обозначенный границами 69—65, включает все наблюдения со значениями от 69,5 до 64,5. Соблюдение размеров соответствующего интер­вала достигается полным устранением совпадения его границ с границами

2-7. Графическое изображение распределения частот по данным, приведенным в рассматриваемом примере.

смежных интервалов и последовательным вычитанием величины интервала из нижнего предела предыдущего интервала. Чтобы ясно представить себе, как это делается, вполне достаточно обратиться к рис. 2-6.

Числовые характеристики центральной тенденции

Одной из основных характеристик распределения, как видно из приве­денного примера, является тенденция наблюденных значений признака группироваться вокруг центра этого распределения. Эта характеристика называется центральной тенденцией. Центральная тенденция обычно выра­жается тремя способами: а) средней величиной, именуемой средней арифме­тической, б) средней величиной, именуемой медианой, и в) наиболее часто повторяющейся величиной, именуемой модой.

Средняя арифметическая X, несомненно, чаще всего используется в ка­честве числовой характеристики центральной тенденции. Эта характеристи­ка равномерно учитывает значение отклонений и, кроме того, удобна для выполнения различных дополнительных математических операций. Она представляет собой своего рода «центр тяжести» распределения частот; это означает, что алгебраическая сумма всех отклонений от этой средней равна нулю. В качестве аналогии рассмотрим 11-футовую доску с точкой опоры,

отстоящей на 5 футов от ее начала, находящуюся под воздействием однофун­товых нагрузок, приложенных соответственно в точках, отстоящих на 2,3 и 4 фута от начала доски (собственный вес доски в расчет не принимается). Вопрос заключается в том, в какой точке должен быть приложен груз в 1 фунт для того, чтобы доска находилась в состоянии равновесия? Для достижения такого равновесия этот груз в 1 фунт должен быть приложен в точке 11. Сумма отклонений от центра опоры в этом случае будет равна

(5-4) + (5-3) + (5-2) + (5-11) = ( + 6) + (-6) = 0.

Для определения средней арифметической могут быть применены две формулы. Если имеется вычислительная машина, то используется формула, применяемая для необработанных данных. Если же в распоряжении имеются только обычный карандаш и бумага, то в этом случае применяется формула, основывающаяся на данных о распределении частот. Для полноты изложения здесь приводятся обе формулы. Однако все вычисления будут производиться с помощью формулы, применяемой к данным о распределении частот. Формула определения средней арифметической на основе необработанных данных

где — средняя арифметическая; X — данные наблюдений; п — число наблюдений; — символ, обозначающий операцию суммирования. Формула определения средней арифметической на основе данных о распределе­нии частот

>

где — середина предполагаемого среднего интервала; / — частота наблюдений в данном интервале; а¹ — отклонение от среднего интервала; I — величина интервала.

Рис. 2-8. Сгруппированное распределение частот по данным рассматрпва емого примера, на основе которого производится исчисление X и а.

На рис. 2-8 приведены данные из рассматриваемого примера о распреде­лении частот и соответствующие им данные в столбцах , а также суммарные итоги. Итог И/й необходим для определения средней арифмети­ческой, а столбец значений /(с?)² и итоговые данные по этому столбцу — для

выполнения последующей операции. Последовательная процедура заполне­ния столбцов с1, /(сО^{2 и} подведение суммарных итогов осуществляются следующим образом:

1. Приближенно определяется интервал, внутри которого, вероятнее всего, находится среднее арифметическое значение. (Желательно, чтобы предполагаемый интервал был небольшим по своему размеру и чтобы вычи­сления производились с положительными величинами.) Точка нуль в столбце значений с1 помещается напротив предполагаемого интервала. Выше нулевой точки, включая верхний интервал, располагаются положительные значения в, (+1, +2, +3 и т. д.); ниже, включая нижний интервал;— его отрицатель­ные значения (—1, —2, —3 и т. д.),

2. Для каждого интервала исчисляется произведение соответствующих /ийи результаты проставляются в графу {о1. Затем подсчитывается алгебра­ическая сумма этих результатов.

3. Для каждого интервала определяется произведение соответствующих, и ^ и результаты проставляются в графе /(й)². В конце столбца дается

алгебраическая сумма этих результатов.

— / 55 \

В нашем примере среднее арифметическое составит Х = 32 + 5 I щ 1=34,75.

Медиана представляет собой значение признака, которое делит пополам распределение всех наблюденных значений, т. е. является той точкой, выше и ниже которой лежит равное число наблюдений. В примере, в котором про­водилась аналогия с центром тяжести, медиана расположена в точке 3,5; иными словами, медианой здесь будет точка, по обе стороны от которой дей­ствуют равнозначные однофунтовые нагрузки. В отличие от средней ариф­метической, численное значение медианы не зависит от экстремальных значе­ний наблюдаемого признака. При абсолютно симметричном распределении численные значения медианы и средней арифметической совпадают. Формула определения медианы на основе данных, расположенных в последо­вательном порядке

Медиана -му наблюдению.

Формула определения медианы на основе распределения частот

где Ь — нижняя граница интервала группировки, в котором содержится значение медианы; I — величина интервала;

7 — число наблюдений, не достигающих значения Ь\ /_т — частота наблюдений для интервала группировки, содержащего значение медианы.

В нашем примере медиана будет равна

Модой называется значение признака, которому соответствует наиболь­шее число наблюдений, или значение признака в наиболее плотном интервале (модальном интервале).

Формула определения моды на основе распределения частот

где Ь — нижняя граница модального интервала; I — величина интервала;

/! — частота наблюдений в интервале, расположенном классом выше модального интервала; — частота наблюдений в интервале, расположенном классом ниже модального интервала.

В нашем примере мода будет равна

Помимо указанных числовых характеристик центральной тенденции, при контроле качества продукции широко используется числовая характе­ристика, называемая средней взвешенной. Исчисление средней взвешенной производится на основании данных о средних значениях признака, исчис­ленных для каждой отдельной выборки и о численности каждой из этих выбо­рок:

п	X
100	34
50	37
200	35

Для определения средней оценки на основе этих укрупненных данных следует применить формулу средней взвешенной

Применяя эту формулу к данным рассматриваемого примера, получаем