3 Точки пересечения с осями координат
С осью OX: .
Решим уравнение:
Получили точки:
С осью OY: .
точка
.
4 Промежутки знакопостоянства функции. Исследование функции на концах промежутков знакопостоянства
По аналитическому выражению функции: , делаем вывод, что функция принимает положительные значения в своей области определения.
Для выяснения поведения функции на концах промежутков знакопостоянства вычислим следующие пределы:
5 Асимптоты графика функции
5.1 Так как функция не претерпевает бесконечный разрыв, то график функции не имеет вертикальных асимптот.
5.2 Наклонные асимптоты
.
Следовательно, наклонных асимптот нет
6 Исследование функции на монотонность. Экстремумы функции
.
Решим уравнение: .
Замечаем, что
не входит в область определения функции.
Критические точки (по первой производной):
Отметим на числовой прямой критические точки и исследуем знак производной на каждом из полученных интервалов
Замечание Штрихами указаны интервалы, где функция не существует.
При переходе через точку
производная меняет знак с «+» на «-»,
значит при
функция имеет максимум.
.
Точка максимума
.
7 Исследование графика функции на выпуклость и вогнутость. Точки перегиба
Найдем вторую производную функции :
;
Решим уравнение: .
Так как
,
то уравнение корней не имеет, значит
вторая производная нулю не равна.
Рассмотрим критические точки, в которых вторая производная не существует:
8 Контрольные точки
9 Построение графика по полученным результатам исследования
Построим график функции
,
а затем отобразим его симметрично оси
OX.
1 Найдем область определения
2 Исследуем функцию на четность и нечетность
Так как область определения множество не симметричное относительно начала координат, то функция ни четная ни нечетная.
3 Найдем точки пересечения с осями координат
С осью OX:
Делаем вывод, что ось OX график функции не пересекает.
С осью OY:
4 Исследуем функцию на знакопостоянство:
;
5 Найдем асимптоты графика функции
5.1 Т.к. в окрестности точки
функция терпит бесконечный разрыв, то
– вертикальная асимптота
5.2
т.к. функция показательная, то рассмотрим
предел при
и
:
;
.
Значит горизонтальная асимптота при .
(воспользовались правилом Лопиталя).
Делаем вывод, что при функция наклонных асимптот не имеет.
6 Исследуем на монотонность
,
Критические точки (по первой производной):
Отметим на числовой прямой критические точки и исследуем знак производной на каждом из полученных интервалов
Найдем точки экстремума
–
точка минимума.
.
7 Исследуем на выпуклость и вогнутость
,
Значит вторая производная не равна
нулю.
8 Найдем контрольные точки
9 Выполним построение графика, используя результаты исследования
11.5
1 Найдем область определения
По свойству логарифмической функции имеем
(Неравенство
решается методом интервалов)
2 Исследуем функцию на четность и нечетность
Так как область определения (см. 1) множество несимметричное относительно начала координат, то функция ни четная ни нечетная
3 Найдем точки пересечения с осями координат
С осью OX:
Для решения можно воспользоваться свойством пропорции, тогда
Для приближенного вычисления значения
х подставим
,
получим
График функции пересекает ось ОХ в
точке (
или
Ось ОУ график функции не пересекает, т.к. х=0 в область определения не входит.
4 Исследуем функцию на знакопостоянство:
Исследуем функцию на концах промежутков знакопостоянства
,
т.к. аргумент у логарифмической функции
стремиться к 0.
5 Найдем наклонные асимптоты
5.1 Т.к. в левой окрестности точки
функция терпит бесконечный разрыв, то
– левосторонняя вертикальная асимптота.
В правой окрестности точки
функция терпит так же бесконечный
разрыв, то
– правосторонняя вертикальная асимптота
5.2
Подставим полученные значения в уравнение асимптоты, получим
горизонтальная асимптота
6 Исследуем на монотонность
Что бы взять производную заданную функцию упростим
Т.к.
,
то критическими точками будут точки
7 Исследуем на выпуклость и вогнутость
,
Т.к. точка
в область определения не входит, то
критическими точками по второй
производной будут точки
8 Найдем контрольные точки
9 Выполним построение графика, используя результаты построения
