- •1 Область определения функции
- •2 Исследование функции на четность и нечетность
- •3 Точки пересечения с осями координат
- •4 Промежутки знакопостоянства функции. Исследование поведения функции на концах промежутков знакопостоянства, в т.Ч. И на бесконечности
- •5 Асимптоты графика функции
- •6 Исследование функции на монотонность. Экстремумы функции
- •7 Выпуклость, вогнутость кривой. Точки перегиба
- •8 Контрольные точки
- •9 Построение графика функции
- •Замечание После того как рассмотрите построение графиков сопоставьте с результатами исследования.
- •10 Образцы выполнения исследования функции и построения графиков
- •3 Точки пересечения с осями координат
5 Асимптоты графика функции
У графика функции различают вертикальные и наклонные асимптоты
Определение Если в точке функция препертивает бесконечный разрыв, т.е. точка разрыва второго рода, то прямая назывется вертикальной асимптотой графика функции
Замечание Вертикальные асимптоты графика функции указываются по результатам исследования в п.4.
Различают правосторонние вертикальные асимптоты, если , а и левосторонние вертикальные асимптоты, если , а .
Определение Прямая называется асимптотой графика функции , если расстояние от точки графика функции до этой прямой стремится к нулю при бесконечном удалении точки М по кривой от начала координат
Замечание График функции может пересекать свою асимптоту, важно что при расстояние точки М(x,y) графика функции от асимптоты стремится к нулю (рис.1)
Рис.1
Определение Прямая называется наклонной асимптотой графика функции , если существуют пределы:
При этом указанные пределы могут быть различными при (для правой наклонной асимптоты) и при (для левой наклонной асимптоты).
Замечание 5 Если k = 0 и существуют пределы:
или ,
То прямая называется горизонтальной асимптотой графика функции
Найти асимптоты графиков функций
5.1
Так как в точках функция претерпевает бесконечный разрыв, то график функции имеет вертикальные асимптоты : (рис.2)
Для отыскания наклонной асимптоты найдем следующие пределы:
Таким образом, существует наклонная асимптота (рис.2)
у
0 х
Рис.2
5.2
Так как функция не имеет бесконечных разрывов, то вертикальных асимптот нет. Функция определена в интервале , поэтому для отыскания наклонных асимптот, рассматривается предел только при .
Находим: .
Так как , то делаем вывод, что наклонных асимптот нет
5.3
Так как в точках функция претерпевает бесконечный разрыв, то график функции имеет вертикальные асимптоты : .
Значения функции в точке рассматриваются только слева, то прямая называется левая вертикальная асимптота, в точке только справа , то прямая – правая вертикальная асимптота.
Для отыскания наклонной асимптоты найдем следующие пределы:
/
.
Таким образом, имеется асимптота – горизонтальная асимптота
5.4 Составить уравнения асимптот графика функции .Схематично построить чертеж
1 Найдем :
. По аналитическому заданию функции можно определить, что , т.е. график функции проходит только над осью ОХ.
Так как , то прямая – правая вертикальная асимптота.
Определим, существуют ли наклонные асимптоты?
Находим:
.
Таким образом существует правая наклонная асимптота ;
(выполните вычисления предела самостоятельно).
Итак, существует левая наклонная асимптота (рис. 3)
Рис. 3
Выполните самостоятельно
Найдите асимптоты графиков функций
5.5 . Ответ: .
5.6 . Ответ: .
5.7 . Ответ: .
5.8 . Ответ: