- •1 Область определения функции
- •2 Исследование функции на четность и нечетность
- •3 Точки пересечения с осями координат
- •4 Промежутки знакопостоянства функции. Исследование поведения функции на концах промежутков знакопостоянства, в т.Ч. И на бесконечности
- •5 Асимптоты графика функции
- •6 Исследование функции на монотонность. Экстремумы функции
- •7 Выпуклость, вогнутость кривой. Точки перегиба
- •8 Контрольные точки
- •9 Построение графика функции
- •Замечание После того как рассмотрите построение графиков сопоставьте с результатами исследования.
- •10 Образцы выполнения исследования функции и построения графиков
- •3 Точки пересечения с осями координат
6 Исследование функции на монотонность. Экстремумы функции
Определение Функция называется возрастающей в интервале , если для любых двух точек и , из указанного интервала таких, что выполняется неравенство
Определение Функция называется убывающей в интервале , если для любых двух точек и , из указанного интервала таких, что выполняется неравенство
Достаточные признаки возрастания и убывания функции
10 Если для любого , то функция возрастает в интервале .
20 Если для любого , то функция убывает в интервале .
Точки, которые разделяют промежутки монотонности функции, называются точками экстремума функции.
Различают точки максимума и точки минимума функции.
Определение Точка называется точкой максимума функции , если есть наибольшее значение функции в некоторой окрестности точки
Определение Точка называется точкой минимума функции , если есть наименьшее значение функции в некоторой окрестности точки
Необходимое условие экстремума
Если функция в точке имеет экстремум, то или не существует.
Точка , в которой или не существует называется критической (стационарной) точкой.
Замечание Не всякая критическая точка является точкой экстремума.
Достаточные условия экстремума
10 Если – критическая точка функции и при переходе через производная меняет знак с + на –, то функция в точке имеет максимум, если же с – на +, то функция в точке имеет минимум.
20 Если при переходе через точку производная не меняет знак, то функция в точке экстремума не имеет.
Алгоритм исследования функции на монотонность, точки экстремума
10 Вычисляем
20 Находим критические точки функции . Приравниваем производную к нулю: , и находим все действительные корни полученного уравнения: и точки, в которых производная не существует
30 Отмечаем критические точки на числовой прямой
40 Определяем знак производной на каждом из полученных интервалов (непосредственной подстановкой произвольного значения из каждого интервала в найденную производную). Делаем вывод о поведении функции, используя признаки монотонности
50 Устанавливаем точки максимума и минимума функции, используя достаточные условия экстремума. Находим максимальные и минимальные значения функции в найденных точках
Исследовать функции на монотонность. Найти максимальные и минимальные значения функции.
6.1
10
20
30
40 Так как функция нечетная (3.1), то знак производной достаточно исследовать на интервалах от 0 до и воспользоваться свойствами нечетной функции.
На интервале , возьмем любое , например , и подставим в производную Получили , следовательно функция возрастает на интервале
Условные обозначения: - возрастает, - убывает.
Аналогично установим:
– возрастает,
– убывает.
Схематично покажем на числовой прямой (п. 30 ).
50 Замечаем, что при переходе через точку производная меняет знак с «-» на «+». Это означает, что в точке функция имеет минимум (на основании достаточного условия существования экстремума).
Найдем . Значит, точка минимума .
Аналогично устанавливаем, в точке функция имеет максимум, .
Значит, точка максимума
6.2
10 .
20
30
40 Исследуем знак производной на каждом из полученных интервалов и схематично изобразим на рисунке (30).
50 В точке функция имеет минимум,
. Точка минимума
6.3
10 ,
20 следовательно точек, в которых не существует. Найдем точки, в которых .
30
40 Устанавливаем знак производной на каждом из полученных интервалов.
50 Замечаем, что на всей области определения производная функции положительная, значит она возрастает на всей области определения. Точек экстремума не имеет.