Содержание

	Пояснительная записка …………………………………………………………	2
1	Область определения функции……………………………………………….	3
2	Исследование функции на четность и нечетность…………………………….	6
3	Точки пересечения с осями координат…………………………………………	8
4	Промежутки знакопостоянства функции. Исследование поведения функции на концах промежутков знакопостоянства, в т.ч. и на бесконечности……………………………………………………………………	9
5	Асимптоты графика функции………………………………………………….	11
6	Исследование функции на монотонность. Экстремумы функции……………	15
7	Выпуклость, вогнутость кривой. Точки перегиба……………………………..	18
8	Контрольные точки………………………………………………………………	21
9	Построение графика функции…………………………………………………	21
10	Образцы выполнения исследования функции и построения графиков:
10.1	………………………………………………….	22
10.2	……………………………………………………………..	25
10.3	………………………………………………………………	28
10.4	…………………………………………………………………	31
10.5	……………………………………………………………..	34

Пояснительная записка

Настоящее учебно-методическое пособие содержит необходимый теоретический материал для закрепления базовых знаний по учебному элементу УЭ.05.04 Приложение производной к исследованию поведения функции, а также образцы исследования функций с помощью производной и построение

Исследование проводится по общей схеме исследования функции

1 Область определения функции

2 Исследование функции на четность и нечетность (в случае, если область определения функции симметричная относительно начала координат)

3 Точки пересечения с осями координат

4 Промежутки знакопостоянства функции; исследование поведения функции на концах промежутков знакопостоянства, в т.ч. и на бесконечности

5 Асимптоты графика функции

6 Исследование функции на монотонность, найти её экстремумы

7 Промежутки выпуклости и вогнутости графика функции, его точки перегиба

8 Контрольные точки

9 Построение графика функции, используя полученные результаты исследования

К каждому пункту исследования приводятся необходимые теоретические сведения, определения. Изложение теоретического материала по всем пунктам сопровождается рассмотрением большого количества примеров, которые помогают лучше усвоить материал, необходимый для исследования поведения функции. Приведенные примеры сопровождаются графическими иллюстрациями. Приводятся задачи для самостоятель-ного решения.

Пособие может быть использовано студентами для самостоятельного изучения соответствующего материала, выполнения самостоятельной работы студента по УЭ.05.04 Приложение производной к исследованию поведения функции.

При работе с учебным пособием необходимо обратить внимание, что для функций

, проведено поэтапное исследование, в пункте 9 построены их графики. Следует сопоставить исследование поведения функциимс графиком и затем рассмотреть примеры исследования функций и построение их графиков (пункт 10).

Данное учебно-методическое пособие является базой для подготовке к экзамену по модулю ЕН.01.М.05 Дифференциальное исчисление.

Работая с пособием, студенты имеют возможность одновременно обращаться к учебной и справочной литературе:

Бермант, А.Ф. Краткий курс математического анализа: Учеб. Пособие/ Бермант А.Ф., Араманович И.Г. – 8-е изд., стер. – М.: Наука, 1973. – 720с.: ил. , гл.IV, §2

Подольский, В.А. Сборник задач по математике: Учеб. пособие/Подольский В.А., Суходский А.М., Мироненко Е.С. – 3-е изд., стер. – М.: Высш.шк., 2005. – 495 с.: ил., гл.10, §7

1 Область определения функции

Если функция задана аналитическим способом, то область определения функции состоит из тех значений аргумента х, при которых аналитическое выражение функции не теряет числового смысла.

Из школьного курса математики известно:

1⁰ ;

2⁰ ;

3⁰ ;

4⁰ ;

5⁰ .

Найти область определения функции ( ), означает найти множество допустимых значений аргумента функции.

Найти область определения функций:

1.1

 По условию (1⁰) имеем .

1.2

 По условию (2⁰) имеем , .

Решим неравенство методом интервалов:

Замечание Так как при значение выражения в левой части обращается в нуль повторяется два раза, то в интервалах, прилежащих к точке 0 значение выражения знака не меняет, то есть функция имеет числовой смысл при , значит .

1.3

 По условию (3⁰) имеем . Полученное неравенство решим методом интервалов:

1.4

 По условиям (1⁰), (2⁰) имеем , откуда .

1.5

 По условиям (2⁰), (3⁰) имеем

Решим первое неравенство системы методом интервалов:

Выражение 0, при .

Решим второе неравенство системы:

.

Чтобы найти общее решение системы неравенств, изобразим полученные решения на одной числовой прямой:

Имеем: .

1.6

 .

Решим неравенство методом интервалов:

Выражение 0, при . Найдем общее решение.

Имеем: .

1.7



Решим каждое неравенство системы отдельно:

так как числитель дроби отрицательный, то чтобы дробь была меньше нуля знаменатель должен быть положительным, т.е .

Н айдем общее решение:

Так как то .

Имеем: .

Выполните самостоятельно

Найдите область определения функций

1.8 Ответ:

1.9 Ответ:

1.10 Ответ:

1.11 Ответ:

1.12 Ответ:

1.13 Ответ: .

2 Исследование функции на четность и нечетность

Определение Числовое множество Х называется симметричным относительно точки 0, если для любого существует

В противном случае множество называется не симметричным относительно точки 0.

Н апример:

Множества симметричные относительно точки 0.

Определение Функция называется четной, если выполняются условия:

- – множество симметричное относительно точки 0;

-

Замечание Если функция четная, то для дальнейшего исследования функции и построения графика используются свойства четной функции:

• четная функция на симметричных интервалах сохраняет знакопостоянство;

• четная функция на симметричных интервалах меняет монотонность;

• график четной функции симметричен относительно оси ординат.

Определение Функция называется нечетной, если выполняются условия:

- – множество симметричное относительно точки 0;

-

Замечание 3 Если функция нечетная, то для дальнейшего исследования функции и построения графика используются свойства нечетной функции:

• нечетная функция на симметричных интервалах меняет знакопостоянство;

• нечетная функция на симметричных интервалах сохраняет монотонность;

• график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Определение Функция называется ни четной, ни нечетной (общего вида), если выполняются условия:

- – множество симметричное относительно точки 0;

-

Замечание Если область определения функции множество не симметричное относительно точки 0, то функция ни четная ни нечетная.

В этом функцию называют, функцией общего вида.

Исследовать функции на четность и нечетность.

2.1

 , замечаем, что область определения множество симметричное относительно точки 0 (определение 1).

Найдем , делаем вывод, что функция нечетная (определение 3).

2.2

 – множество не симметричное относительно точки 0, т.е. функция ни четная ни нечетная (замечание 4).

2.3



- множество не симметричное относительно точки 0, т.е. функция ни четная ни нечетная

2.4

 Найдем область определения функции:

– множество симметричное относительно точки 0.

Найдем , делаем вывод, что функция четная (определение 2).

2.5

 Найдем область определения функции:

,

– множество симметричное относительно точки 0.

Найдем , делаем вывод, что функция ни четная ни нечетная (определение 4 ).

Выполните самостоятельно

Исследовать функцию на четность и нечетность

2.6 Ответ: нечетная

2.7 Ответ: четная

2.8 Ответ: ни четная ни нечетная

2.9 Ответ: ни четная ни нечетная