3 Точки пересечения с осями координат

Для того, чтобы найти точки пересечения графика функции с осью абсцисс, (нули функции), нужно решить систему:

Аналогично с осью ординат, :

Найти точки пересечения графика функции с осями координат

3.1

 С осью OX:

Получили точку .

С осью OY:

Получили точку

3.2

 С осью OX:

Получили точки: .

С осью OY:

Получили точку

4.3

 С осью ОХ:

Получили точку

С осью OY: точка не входит в область определения, значит график функции ось OY не пересекает

4 Промежутки знакопостоянства функции. Исследование поведения функции на концах промежутков знакопостоянства, в т.Ч. И на бесконечности

Промежутки знакопостоянства функции разделяют точки пересечения графика функции с осью абсцисс и точки разрыва функции.

Если эти точки изобразить на оси ОХ, то на каждом из полученных интервалов функция сохраняет свой знак.

Для того чтобы выяснить, какие значения принимает функция на каждом интервале, нужно взять любое число из интервала, подставить в формулу, которой задается функция и найти значение.

Если функция принимает положительные значения на промежутке, то ее график на этом промежутке располагается над осью абсцисс, если отрицательные – под осью абсцисс.

Исследование поведения функции на концах промежутков знакопостоянства, проводится с помощьютеории пределов. Рассмотрим на конкретных примерах

Указать промежутки знакопостоянства функций. Исследовать поведение функции на концах промежутков знакопостоянства, в т.ч. на бесконечности

4.1

 Функция обращается в нуль при и терпит разрыв при . Наносим эти точки на ось ОХ:

В каждом из интервалов она сохраняет определенный знак, а именно

Так как функция нечетная (3.1), то на симметричных интервалах знак меняется на противоположный.

Вывод На интервалах: и график функции проходит над осью ОХ, а на интервалах и под осью ОХ.

Для выяснения поведения функции на концах промежутков знакопостоянства вычислим следующие пределы:

4.2

 По аналитическому заданию функции можно определить, что , т.е. график функции проходит только над осью ОХ.

Для выяснения поведения функции на концах промежутков знакопостоянства вычислим следующие пределы:

;

Обратите внимание, что в точке поведение функции исследуется отлько справа, т.к. слева функция неопределенна

4.3

 Имеем (4.3) и .

,

.

Вывод. На интервалах: и график функции проходит над осью ОХ, на интервале под осью ОХ.

Для выяснения поведения функции на концах промежутков знакопостоянства (данная функция в точке определена только слева, а в точке только справа) вычислим следующие пределы:

,

.

Вывод: – левосторонняя вертикальная асимптота,

– правосторонняя вертикальная асимптота.