7 Выпуклость, вогнутость кривой. Точки перегиба
Определение Кривая называется
выпуклой в некотором интервале
,
если она расположена ниже касательной,
проведенной к кривой в любой точке этого
интервала (рис.4).
Определение Кривая называется вогнутой в некотором интервале , если она расположена выше касательной, проведенной к кривой в любой точке этого интервала (рис.5).
Рис. 4 Рис. 5
Выпуклость или вогнутость кривой, являющейся графиком функции , характеризуется знаком второй производной.
Достаточные условия выпуклости и вогнутости графика функции
Если
в интервале
,
то график функции является выпуклым в
этом интервале.
Если
в интервале
,
то график функции является вогнутым в
этом интервале.
Определение Точкой перегиба кривой называется такая ее точка, которая отделяет выпуклую дугу от вогнутой
Необходимый признак точки перегиба
Если
– абсцисса точки перегиба, то
или
не существует.
Точки, в которых или не существует называются критическими точками второго порядка
Алгоритм исследования графика функции на выпуклость и вогнутость
10 Вычисляем
20 Находим критические точки
второго порядка. Приравняем вторую
производную к нулю:
и находим все действительные корни
полученного уравнения:
и точки, в которых
не существует
30 Отмечаем критические точки второго порядка на числовой прямой
40 Определяем знак второй производной на каждом из полученных интервалов (непосредственной подстановкой произвольного значения из каждого интервала в найденную вторую производную). Делаем вывод о поведении графика функции, используя достаточные условия выпуклости и вогнутости графика функции
50 Устанавливаем точки перегиба. Точками перегиба графика функции являются лишь те из найденных точек, при переходе через которые вторая производная меняет знак. находим ординаты точек перегиба
Исследовать на выпуклость, вогнутость и точки перегиба графики функций.
7.1 (1.1)
10 
20 
30 
40 Так как функция нечетная (3.1),
то график симметричен относительно
начала координат, поэтому на симметричных
интервалах выпуклость меняет. Достаточно
исследовать знак второй производной
на интервалах:
.
На интервале
,
возьмем любое
,
например
,
тогда
Получили
следовательно график функции
на интервале
вогнутый ( )
Аналогично устанавливаем:
Следовательно, на этом интервале график
функции выпуклый (
).
50 Точки
разделили промежутки выпуклости и
вогнутости, но при
функция не существует, поэтому только
,
служит абсциссой точки перегиба,
.
Точка (0;0) – точка перегиба графика функции.
7.2 
10 
.
20 
30 
40 Проверим знак второй производной на каждом, из полученных интервалов:
,
следовательно график функции выпуклый;
следовательно график функции вогнутый.
50 Точка (0;0) – точка перегиба графика функции, т.к. функция в этой точке определена
7.3 
10 
20 
Точка
не принадлежит области определения
функции .
30 
40 Устанавливаем знак
на каждом из интервалов, делаем вывод
о выпуклости и вогнутости графика
функции.
50 Точек перегиба нет.