3. Мода и медиана.

Мода в статистике - это значение признака, наиболее часто встречающее в изучаемой совокупности.

Медиана - это значение признака у единицы совокупности, делящей ранжированный ряд пополам (или стоящей в середине ранжированного ряда).

В дискретном ряду распределения модой является вариант признака, имеющий наибольшую частоту.

Пример: Распределение рабочих по тарифному разряду:

Разряд	1	2	3	4	5	6	Итого
Число рабочих	5	8	18	16	11	9	67

Наибольшее число рабочих (18) имеют третий разряд. Следовательно, мода для данной совокупности – 3 разряд.

Для нахождения медианы строится ряд накопленных частот.

Разряд	Число рабочих	Накопленная частота
1 2 3 4 5 6	5 8 18 16 11 9	5 5+8=13 13+18=31 31+16=47 47+11=58 58+9=67
Итого	67

В данной совокупности состоящей из 67 единиц, в середине ранжированного ряда будет находиться 34-й рабочий . Рабочих с 1, 2, 3 разрядом насчитывается 31. Эта величина меньше порядкового номера рабочего стоящего в середине ранжированного ряда. Накопленная частота для 4 разряда - 47, т. е. превышает порядковый номер медианы. Отсюда следует, что рабочий, имеющий порядковый номер 34 принадлежит к 4-й тарифной группе. Следовательно, медиана в нашем примере - четвертый разряд.

В интервальных рядах распределения мода рассчитывается по следующей формуле:

где - мода;

- нижняя граница модального интервала (имеющего наибольшую частоту);

- ширина модального интервала;

- частота интервала, предшествующего модальному;

- частота модального интервала;

- частота интервала, следующего за модальным.

Для нахождения медианы в интервальном ряду используют формулу:

,

где - медиана;

- нижняя граница медианного интервала (накопленная частота которого содержит единицу, стоящую в середине ряда);

- сумма частот ряда (численность совокупностей);

- накопленная частота предмедианного интервала (предшествующего медианному);

- частота медианного интервала.

Пример: Имеются следующие данные с дневной выработкой рабочих:

Дневная выработка (тыс. руб.)	Число рабочих	Накопленная частота
40-50 50-60 60-70 70-80 80-90	70 88 97 107 79	70 158 (70+88) 255 (158+97) 362 (255+107) 441 (362+79)
Итого	441

ТЕМА: ПОКАЗАТЕЛИ ВАРИАЦИИ

1. Виды показателей вариации и порядок их расчета.

Средняя величина погашает индивидуальные различия значений признака. Измерение вариации (колеблемости) признаков дополняет характеристику совокупности и имеет практическое и теоретическое значение. В статистике используют следующие показатели вариации: размах вариации, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.

Размах вариации - это разность между максимальным и минимальным размером значения признака ( ). Недостаток этого показателя в том, что он не измеряет вариацию внутри совокупности.

Дисперсия - это средняя из квадратов отклонений от средней величины.

Свойства дисперсии:

Первое свойство. При вычитании из всех значений признака постоянной величины A дисперсия не изменяется.

Второе свойство. При сокращении всех значений признака на постоянный множитель K дисперсия уменьшится в K² раз.

Третье свойство. Дисперсия признака равна разности между средним квадратом значений признака и квадратом их средней, т.е. , где , .

Используя второе свойство дисперсии можно значительно упростить расчет дисперсии по формуле:

,

Где ;

- момент второго порядка;

- момент первого порядка.

Для расчета дисперсии по условию примера 4 используем расчетную таблицу (табл. 2).

Таблица 2

Заработная плата, д.е.	Число рабочих
до 250 250-275 275-300 300-325 325 и более	10 15 18 12 5	237,5 262,5 287,5 312,5 337,5	2375,0 3937,5 5175,0 3750,0 1687,5	-44,58 -19,58 5,42 30,42 55,42	1987,4 383,4 29,38 925,38 3071,37	19874,1 5750,6 528,8 11104,5 15356,8	56406,2 68906,2 82656,2 97656,3 1139063	564062 1033594 1487812 1171875 569531	-2 -1 0 +1 +2	4 1 0 1 4	40 15 0 12 20
Итого	60		16925,0			52614,7		4826874			87

д.е.;

;

Как видим, расчет по всем формулам дал одинаковый результат. Однако расчет по «способу моментов» менее трудоемок. Дисперсия не имеет единицы измерения.

Среднее квадратическое отклонение

Среднее квадратическое отклонение есть корень квадратный из дисперсии. Оно имеет ту же единицу измерения, что и средняя величина.

Формулы для расчета среднего квадратического отклонения:

;

;

;

.

Коэффициент вариации представляет собой отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической, выраженное в процентах.

.

Коэффициент вариации как относительный показатель пригоден для сравнения колеблемости различных по своему характеру и размеру признаков. Чем меньше коэффициент вариации, тем меньше колеблемость и наоборот. Кроме того, если коэффициент вариации меньше 33%, то совокупность считается однородной, если больше 33%, то совокупность не однородна.