Обобщение

Обобщить - значит зафиксировать то общее, существенное, что имеется в каждом объекте рассматриваемой совокупности.

В математике обобщение – это мысленное выделение общих и существенных признаков математических объектов или способов действий с ними.

Следует различать результат обобщения и процесс, ведущий к нему. Результат обобщения фиксируется в понятиях, предложениях (суждениях), правилах и способах.

Процесс обобщения может быть организован по разному.

1. Обобщенные знания или способы действий даются ученикам в готовом виде.

Например, правило умножения на число. В нем фиксируется обобщение, справедливое для любого числа. Учебная задача, связанная с процессом такого обобщения, заключается в том, чтобы учащиеся запомнили его и научились правильно применять в варьирующихся условиях.

2. Обобщенные знания появляются как логический вывод из ранее установленных обобщений. Здесь этот процесс проявляется как процесс рассуждений, приводящий к общему выводу. Так, например, из обобщения что площадь прямоугольника равна произведению длин его сторон, путем рассуждений можно получить новое обобщение; для нахождения длины прямоугольника нужно его площадь разделить на ширину. При переходе из одного обобщения к другому учебная задача состоит в том, чтобы школьники правильно и обоснованно выполнили необходимые рассуждения, что должно быть заранее предусмотрено и организовано педагогом.

3. Обобщенные знания являются результатом индуктивных рассуждений (неполная индукция). В этом случае процесс обобщения протекает путем сравнения двух или более объектов по их общим и существенным признакам с целью получить обобщенный вывод. Такое обобщение называют эмпирическим. Оно широко используется в обучении математике. Примером могут служить получения правила деления суммы на число, умножения числа на сумму, переместительный закон умножения и сложения и др. Во всех этих случаях учебная задача состоит в том, чтобы учащиеся под руководством педагога подметили существенные признаки у всех рассматриваемых объектов и на этой основе сделали вывод. Чтобы полученное обобщение было верным и соответствовало поставленной задаче, важно правильно подобрать сравниваемые объекты.

4. Процесс обобщения характеризуется тем, что путем анализа одного математического объекта выявляются существенные особенности, отражающие общие признаки всех объектов из заданной области, т.е. в единичном отыскивается общее. Это путь теоретического обобщения. Например, способ умножения трехзначного числа на однозначное можно представить в виде образца:

426× 3= (400 + 20 + 6 ) × 3 = 400 × 3 + 20 × 3 + 6× 3 = 1200+ 60 + 18 =1278

Здесь существенное – представление трехзначного числа в виде суммы разрядных слагаемых и сведение рассматриваемого случая к умножению суммы на число. Именно это должно быть выделено путем анализа: в конкретном примере обнаружен общий способ действия.

Аналогия

Понятие “аналогичный” в переводе с греческого означает “сходный”,”соответственный”, понятие аналогия – сходство в каком-либо отношении между предметами, явлениями, понятиями, способами действия.

В процессе обучения математике аналогию используют для нахождения новых способов действий. В этом случае учащиеся должны увидеть сходство между объектами в некоторых отношениях и самостоятельно высказать догадку о сходстве в других отношениях, т.е. сделать заключение по аналогии. Но для того, чтобы учащиеся смогли высказать “догадку”, необходимо определенным образом организовать их деятельность.

Умозаключение по аналогии возможно применять при переходе от письменного сложения и вычитания двузначных чисел к письменному сложению и вычитанию трехзначных и многозначных чисел, при изучении свойств арифметических действий.

Например: для изучения переместительного свойства умножения сначала предлагается найти значение выражений: 6 + 3 7 + 4 8 +4

3 + 6 4 + 7 4 + 8

- Каким свойством вы воспользовались при выполнении задания?

- Подумайте, как установить, выполняется ли переместительное свойство для умножения.

Учащиеся по аналогии записывают пары произведений и находят значение каждого, заменяя произведения суммой.

Для правильного умозаключения по аналогии необходимо выделить существенные признаки объектов, в противном случае вывод может оказаться неверным.

Формируя у младших школьников умение выполнять умозаключение по аналогии, необходимо иметь в виду следующее:

- Аналогия основывается на сравнении, поэтому успех ее применения зависит от того, насколько ученики умеют выделять признаки объектов и устанавливать сходство и различие между ними.

- Для использования аналогии необходимо иметь два объекта, один из которых известен, второй сравнивается с ним по каким либо признакам. Отсюда, применение приема аналогии способствует повторению изученного и систематизации знаний и умений.

- Для ориентации школьников на использование аналогии необходимо в доступной форме разъяснять им суть этого приема, обратив их внимание на то, что в математике нередко новый способ действий можно открыть по догадке, вспомнив и проанализировав известный способ действий и данное новое задание.

- Для правильных действий по аналогии сравниваются признаки предметов, существенные в данной ситуации. В противном случае вывод может быть неверным.