2.2. Синхронизация часов
Прежде, чем делать какие-либо выводы из постулатов специальной теории относительности, необходимо тщательно проанализировать представления о способах измерения пространства и времени. В первую очередь следует обратить внимание на то, что физической реальностью обладает не точка пространства и не момент времени, когда что-либо произошло, а только само событие. Для описания события в данной системе отсчета нужно указать место, в котором оно происходит, и момент времени, когда оно происходит. Эта задача окажется осуществимой, если создать в пространстве равноотстоящие координатные метки и совместить с каждой такой меткой часы, по которым можно было бы определить момент времени, в который происходит событие в данном месте. Координатные метки можно нанести путем перекладывания единичного масштаба. В качестве часов можно взять любую систему, совершающую периодически повторяющийся процесс. Чтобы сравнивать моменты времени, в которые происходят два события в разных точках пространства, нужно убедиться в том, что часы, находящиеся в этих точках, идут синхронно.
Для того, чтобы выполнить синхронизацию, нужно сначала расставить часы по местам и лишь затем произвести сверку их показаний. Это можно сделать, посылая от одних часов к другим сигнал. Ясно, что синхронизировать часы, помещенные в различных точках системы, можно только с помощью каких-нибудь сигналов. Наиболее подходящими для этой цели являются радиосигналы или световые сигналы. Выбор именно этих сигналов обусловлен тем, что их скорость не зависит от направления в пространстве, а также одинакова во всех ИСО.
Пусть из точки А посылается в момент
t1,
(отсчитанный по часам в А) световой
сигнал, который отражается от зеркала,
помещенного в точку В, и возвращается
в А в момент t2.
Часы в точке В можно считать
синхронными с часами в точке А, если
в момент времени, когда до них дошел
сигнал, часы в точке В показывали
время, равное
.
Такую сверку необходимо проделать для
всех часов, расположенных в разных
точках системы S. Время
события – это время, одновременное
с событием показания покоящихся часов,
находящихся в месте события. События в
точках А и В будут одновременными
в системе S,
если соответствующие им отсчеты
времени по часам в точках А и В
совпадут.
Существенно отметить, что определенное таким образом время относится лишь к той системе отсчета, относительно которой синхронизированные часы покоятся.
2.3. Преобразования Лоренца
Рис. 2.2
Пусть система S'
движется относительно системы S
со скоростью
.
Направим оси x и x'
вдоль вектора
,
оси y и y',
а также z и z'
предположим параллельными друг другу.
Пусть начала координат этих систем
совпадают в начальный момент времени.
Из однородности пространства и времени
следует, что формулы преобразования
должны быть линейными.
Для доказательства рассмотрим бесконечно малое изменение dx', то есть разность координат x' двух близких точек. В системе S ему будут соответствовать бесконечно малые разности координат dx, dy, dz и времени dt. Полагая, что общий вид преобразований имеет вид следующих функций:
;
;
;
,
можно по формуле полного дифференциала записать
.
В силу однородности пространства и
времени эти соотношения должны быть
одинаковы для всех точек пространства
и для любых моментов времени. А это
означает, что величины
,
,
,
не должны зависеть от координат и времени
и являются постоянными. Поэтому вид
функции Ф1 можно представить
как линейную функцию своих аргументов
.
Аналогично доказывается линейность
функций Ф2, Ф3, Ф4.
При указанном выборе координатных осей плоскость y=0 совпадает с плоскостью y'=0, а плоскость z=0 – с плоскостью z'=0. Отсюда следует, что, например, координаты y и y' должны обращаться в ноль одновременно, независимо от значений других координат и времени, поэтому y и y' могут быть связаны только соотношением вида
,
где – константа. В силу равноправности систем S и S' обратное соотношение должно иметь вид
с тем же значением , что и первом случае. Перемножив оба соотношения, получим, что 2=1, откуда =±1. Знак плюс соответствует одинаково направленным осям y и y', знак минус – противоположно направленным. Направив оси одинаково, получим
.
Аналогичные рассуждения приводят к формуле
.
Поскольку переменные y и z преобразуются отдельно, переменные x и t могут быть связаны линейными преобразованиями только друг с другом
,
, (2.1)
,
.
Найдем коэффициенты , , .
Используем для этого факт равенства скорости света в системах S и S'. Произведем в начале координат системы S световую вспышку. Уравнение поверхности волны в системе S имеет вид
.
В системе S' скорость света тоже равна с, следовательно,
.
Иными словами, выражение
инвариантно, то есть
. (2.2)
Подставив вместо
их выражения через x,
y, z,
t в (2.2), получим
.
Приравнивая коэффициенты при x2, xt и t2 в левой и правой частях, поскольку это тождество, получим следующую систему уравнений:
, (2.3)
, (2.4)
. (2.5)
Выразим из уравнения (2.4)
и подставим в уравнение (2.3), получим:
.
Из этого соотношения следует, что
или
.
Подставляя в уравнение (2.5) выражение для c22, получим
.
Отсюда
,
;
,
то есть
и
.
Запишем теперь преобразования Лоренца в окончательном виде
,
,
,
. (2.6)
Формулы (2.6)–(2.7) и решают задачу о преобразовании координат и времени при переходе от одной системы отсчета к другой. Они называются преобразованиями Лоренца.
Переход от системы S системе S' можно очень просто получить, заменив V на –V. Следовательно,
,
,
,
. (2.7)
Из (2.6) видно, что при
преобразования Лоренца переходят в
преобразования Галилея. Таким образом,
преобразования Галилея не отбрасываются,
а оказываются правильными для случая
движения со скоростями, много меньшими
скорости света. Теория Эйнштейна является
обобщением принципа Галилея–Ньютона
и содержит в себе последний как частный
случай. Следует обратить внимание на
симметрию формул (2.6)–(2.7),
что является следствием равноправия
обеих инерциальных систем отсчета.
Преобразования Лоренца точно переходят в преобразования Галилея при c=¥. Тогда t=t', то есть классический случай и классическая одновременность возможны только при бесконечной скорости распространения сигналов