3.7. Столкновение двух частиц

Рассмотрим процесс столкновения, происходящим в два этапа: сначала образование некоторой составной частицы и затем ее распад на какие-то в общем случае другие частицы:

.

В процессе сближения частиц и взаимодействие между ними может становиться немалым и полученные в предыдущем параграфе формулы для невзаимодействующих частиц неприменимы. Однако после того, как возникшие частицы разойдутся на большое расстояние друг от друга, эти формулы опять применимы. В данном случае можно показать, что сумма полных энергий двух исходных частиц (когда они находятся настолько далеко друг от друга, что их взаимодействие пренебрежимо мало) равна полной энергии составной частицы. Это же относится и ко второй стадии процесса – распаду. Другими словами, можно показать, что для этого процесса оказывается справедливым закон сохранения энергии в таком виде:

.

Рис. 3.2

Убедимся, что это так, на следующем простом примере. Представим себе столкновение двух одинаковых частиц 1 и 2, в результате которого образуется некоторая составная частица. Пусть частицы до столкновения движутся навстречу друг другу в S-системе с одинаковыми скоростями.

Рис. 3.3

Рассмотрим теперь этот процесс в S'-систе­ме, движущейся со скоростью относительно S-системы. Так как в S-системе скорость каждой частицы перпендикулярна , то обе частицы имеют в S'-системе x'-компоненту скорости, равную V. Такую же скорость в S'-системе будет иметь и образовавшаяся частица, релятивистскую массу которой обозначим M. Из закона сохранения импульса до и после столкновения, получим (для x-составляющей импульса) 2mu'V=MV, где u' –скорость каждой исходной частицы в S'-системе. Отсюда, 2mu'=M, то есть сумма релятивистских масс исходных частиц равна релятивистской массе образовавшейся частицы. Аналогично дело обстоит и в S-системе. Действительно, при очень малом значении скорости V скорость u' практически равна u, а масса M – массе покоя M₀ образовавшейся частицы, так что в S-системе

2mu=M₀.

Отсюда видно, что масса покоя образовавшейся частицы больше суммы масс покоя исходных частиц. Кинетическая энергия исходных частиц претерпела превращение, в результате которого масса покоя образовавшейся частицы превысила сумму масс покоя исходных частиц.

Итак, мы показали, что вследствие сохранения импульса системы сумма релятивистских масс исходных частиц равна релятивистской массе образовавшейся частицы. Это же, очевидно, относится и к полной энергии. Поэтому можно утверждать, что сохранение полной энергии в форме действительно имеет место для рассматриваемых стадий этого процесса.

Применение закона сохранения энергии к ядерным процессам позволило экспериментально проверить справедливость одного из фундаментальных законов теории относительности – закона взаимодействия массы и энергии. Рассмотрим примеры.

Пример 1. Энергетический выход ядерных реакций.

Рассмотрим ядерную реакцию типа

,

где слева – исходные ядра, справа – ядра – продукты реакции. Применим к этой реакции закон сохранения полной энергии:

, (3.10)

где

.

Тогда (3.10) перепишется следующим образом:

,

где

, .

Величина – приращение суммарной кинетической энергии – энергетический выход ядерной реакции:

.

Эта величина может иметь любой знак в зависимости от характера реакции. Таким образом, энергетический выход ядерной реакции определяется разностью суммарных масс покоя ядер до и после реакции. Все величины, входящие в это соотношение, могут быть экспериментально измерены с достаточно высокой точностью, тем самым можно проверить само равенство.

Пример 2. Распад частицы

Пусть покоящаяся частица самопроизвольно распадается на частицы и . Согласно закону сохранения энергии,

.

Так как полная энергия каждой частицы

,

то

,

где T₂₃ – суммарная кинетическая энергия образовавшихся частиц. Эту энергию называют энергией распада. Таким образом, энергетический выход реакции

.

Так как Q³0, то самопроизвольный распад частицы возможен при условии , то есть масса покоя первичной частицы больше суммы масс покоя возникающих частиц. В противном случае самопроизвольный распад невозможен. Эксперимент полностью подтверждает этот вывод.

Тот факт, что в результате столкновения частиц и последующего затем распада составной частицы полная энергия системы (а значит и ее импульс) не меняется, приводит к другому важному выводу: величина для системы релятивистских частиц будет инвариантом не только по отношению к разным ИСО, но и для указанных выше стадий процесса столкновения.

Пусть, например, две релятивистские частицы испытывают столкновение, в результате которого образовалась новая частица с массой покоя M₀. Если в S-системе полные энергии частиц до столкновения равнялись E₁ и E₂, а их импульсы – соответственно и , то мы сразу можем записать, что при переходе от S-системы (до столкновения) к Ц-системе (после столкновения) будет выполняться следующее равенство:

,

где учтено, что в Ц-системе образовавшаяся частицы покоится.

Таким образом, инвариантность величины дает незаменимый инструмент при изучении процессов распада и столкновения релятивистских частиц, с помощью которого упрощается как анализ самих процессов, так и соответствующий расчет.