3.2. Закон сохранения энергии в релятивистской механике

В релятивистской механике вычисление работы сил, энергии производится точно так же, как и в нерелятивистской, но в основе всех расчетов лежит релятивистское уравнение движения (3.1). Умножим обе части этого уравнения на :

.

Продифференцируем левую часть этого уравнения:

Равенство принимает вид

. (3.2)

Из уравнения (3.2) следует, что в результате совершения работы силой изменяется величина . Если частица движется в поле потенциальных сил, то . Тогда из уравнения (3.2) следует, что

.

Эта формула выражает закон сохранения энергии в релятивистском случае.

Величина называется полной энергией. При u=0 полная энергия , энергия называется энергией покоя. Следовательно, релятивистское выражение для кинетической энергии имеет вид

.

В случае малых скоростей последнее соотношение можно преобразовать следующим образом:

.

Мы пришли к ньютоновскому выражению для кинетической энергии. Этого и следовало ожидать, поскольку при скоростях, много меньших скорости света, все релятивистские формулы должны переходить в соответствующие формулы ньютоновской механики.

Итак, мы получили, что приращение кинетической энергии частицы сопровождается пропорциональным приращением ее релятивистской массы. Вместе с тем известно, что при протекании различных процессов в природе одни виды энергии могут преобразовываться в другие. Например, кинетическая энергия сталкивающихся частиц может преобразовываться во внутреннюю энергию образовавшейся частицы. Поэтому естественно ожидать, что масса тела будет возрастать не только при сообщении ему кинетической энергии, но и вообще при любом увеличении общего запаса энергии тела независимо от того, за счет какого конкретного вида энергии это увеличение происходит. Отсюда Эйнштейн пришел к следующему выводу: общая энергия тела или системы тел, из каких бы видов энергии она ни состояла, связана с массой тела соотношением

.

Это соотношение выражает один из наиболее фундаментальных законов природы – закон взаимосвязи массы и полной энергии тела. При этом в полную энергию не включаются потенциальная энергия тела во внешнем поле. Итак, энергия и масса покоя тела, движущегося со скоростью u, связаны формулой

.

По этой причине из механики тел, движущихся со скоростью, близкой к скорости света, следует несколько интересных эффектов. По мере приближения u к cкорости света в вакууме энергия тела беспредельно возрастает, то есть необходимо сообщить телу бесконечное количество энергии, чтобы разогнать его до скорости света. В противоположном пределе, когда u=0, то есть тело покоится, его энергия не исчезает, а равна

.

Энергия покоя полностью обусловлена массой тела.

В качестве примера рассмотрим Солнце, которое излучает энергию порядка 10²⁶ джоуля в секунду. Эта ежесекундная потеря энергии эквивалентна массе в четыре миллиона тонн, таким образом каждую секунду Солнце становится на 410⁶ тонн легче.

Возьмем другой пример. Ядро кислорода содержит восемь протонов, тесно связанных друг с другом. Масса ядра кислорода равна 2,66510^–26 кг. С другой стороны, суммарная масса восьми изолированных протонов и восьми изолированных нейтронов равна 2,67810^–26 кг. Недостающие 2,310^–26 кг соответствуют потере энергии по сравнению с тем состоянием, когда элементарные частицы не собраны в единую систему.