20) Приведение общих уравнений прямой в пространстве к каноническому виду.

Общими уравнениями прямой в пространстве называется уравнения вида если не выполняются условия     (не пропорц.)

Прямая здесь задана как пересечение двух плоскостей

Привести общее уравнение прямой к каноническому виду. Для этого нужно на прямой найти точку М₁(x,y,z,) и определить направляющий вектор S(m,n,p) прямой. Точку M находят так: задают произвольно, например z=0 и из общих уравнений находят х и у (это вектор лежащий на даной прямои или паралельный ей), то прямая в пространстве может быть определена каноническими уравнениями . Канонические уравнения прямой, проходящей через две данные точки, имеет вид

Пример: Отсюда x=2 y=-1 или (2;-1;0) А направляющий вектор берем из векторного произведения нормальных векторов S=[N₁*N₂]= = 4i+14i+8k

Каноническое уравнение прямо имеет вид х-2/4=y-1/14=z/8 или x-2/2=y-1/7=z/4

21) Способы задания прямой в пространстве. Общие уравнения прямой и канонические уравнения прямой.

В пространственной геометрии каждая линия рассматривается как пересечение 2-х поверхностей и задаётся 2-мя уравнениями. Каждая прямая линия ДСК рассматривается как пересечение 2-ч плоскостей и соответственно задаётся двумя уравнениями:

Общее уравнение прямо в пространстве – Ax+By+C=0. Уравнение задаёт прямую или не выполняется условие A₁/A₂=B₁/B₂=C₁/C₂

Данное уравнение задаёт прямую в том случае когда соответствующие коэффициенты векторов не пропорциональны Уравнение пучка плоскостей через каждую прямую проходит бесконечно много плоскостей то есть всякую прямую можно определить двумя уравнениями бесконечно многими способами. Если известно что 1-ка точка M₁(x,y,z) прямой и направляющий вектор S(m,n,p) то прямая в пространстве может быть определена каноническим уравнением x-x₁/m=y-y₁/n=z-z₁/p Так же прямая задаётся Параметрическим уравнением И каноническим уравнением прямо проходящее через 2 данные точки M₁(x₁,y₁,z₁) и M₂(x₂,y₂,z₂) и имеет вид x-x₁/x₂-x₁=y-y₁/y₂-y₁=z-z₁/z₂-z₁

22) Угол между двумя прямыми в пространстве. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых в пространстве.

Пусть 2 прямые в пространстве задаются каноническими уравнениями

x-x₁/m₁=y-y₁/n₁=z-z₁/p₁ и x-x₁/m₂=y-y₁/n₂=z-z₁/p₂ Тогда угол между этими прямыми вычисляется по формуле

cos фи= (S₁*S₂)/|S₁|*|S₂|=m₁*m₂+n₁*n₂+p₁*p₂/корень*корень. Условием ||-ти 2х прямых в пространстве является коллинеарность их направляющих векторов S₁||S₂=m₁/m₂=n₁/n₂=p₁/p_2. Условием перпендикулярности 2х прямых в пространстве является равенство нулю их скалярного произведения. (S₁*S₂)=0 m₁*m₂+n₁*n₂+p₁*p₂=0

23) Отыскание точки пересечения прямой в пространстве с плоскостью.

Чтобы найти пересечение прямо и плоскости необходимо совместно решить их уравнения например имея каноническое уравнение прямо x-x₁/m=y-y₁/n=z-z₁/p применяют каждое из них к t и параметрическое уравнение прямо из уравнения прямо Ax+By+Cz+D=0 выводим A(x₁+mt)+B(y₁+nt)+C(z₁+pt)+D=0 Подставляем значения задачи из условия мы найдем координаты точки пересечения.