- •1)Вычисление определителя 2-го порядка. Вычисление определителя 3-го порядка разложением его по элементам какой-либо строки или столбца.
- •2) Что такое определитель? Что называется минором? Основные свойства определителей. Правило Крамера для решения систем линейных уравнений.
- •3) Алгебраические дополнения. Вычисление определителя путём создания нулей в какой-либо строке или столбце. Показать на примере.
- •4) Что называется матрицей? Действия с матрицами. Обратная матрица. Матричный метод решения систем линейных уравнений.
- •5)Ранг матрицы. Способы вычисления ранга матрицы. Теорема Кронекера-Капелли при исследовании системы уравнений.
- •6) Метод Гаусса в решении систем линейных уравнений. Перечислить основные эквивалентные преобразования системы уравнений, допускаемые при использовании метода Гаусса.
- •8) Векторы, равенство векторов. Определение коллинеарности и компланарности векторов. Модуль вектора. Угол между векторами. Линейные операции с векторами.
- •9) Понятие линейной зависимости и независимости системы векторов.
- •10) Определение координат векторов. Вычисление координат вектора по известным координатам его начала и конца. Линейные операции над векторами в координатной форме.
- •11) Разложение вектора по базису. Вычисление длины вектора. Условия коллинеарности векторов. Определение направления вектора с помощью направляющих косинусов.
- •12) Определение скалярного произведения двух векторов. Привести формулы скалярного произведения. Условие перпендикулярности двух векторов.
- •13) Дать определение векторного произведения, двух векторов. Вычисление с помощью векторного произведения площадей параллелограмма и треугольника.
- •14) Определение смешанного произведения 3-х векторов и его геометрический смысл. Вычисление смешанного произведения векторов в координатной форме. Условие компланарности векторов.
- •15) Вывод уравнения плоскости, проходящей через заданную точку и имеющую заданный нормальный вектор. Общее уравнение плоскости.
- •16) Вывод уравнения плоскости в отрезках.
- •17) Вывод уравнения плоскости, проходящей через 3 точки.
- •18) Определение угла между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.
- •19)Вывод формулы расстояния от точки до плоскости.
- •20) Приведение общих уравнений прямой в пространстве к каноническому виду.
- •21) Способы задания прямой в пространстве. Общие уравнения прямой и канонические уравнения прямой.
- •22) Угол между двумя прямыми в пространстве. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых в пространстве.
- •23) Отыскание точки пересечения прямой в пространстве с плоскостью.
- •24) Определение и вычисление угла между прямой в пространстве и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.
- •26) Прямая на плоскости. Записать несколько видов уравнений, полученных как частный случай из уравнений плоскости и прямой в пространстве. Дать пояснения к этим уравнениям.
- •27) Уравнение прямой на плоскости с угловым коэффициентом. Записать формулу тангенса угла между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.
- •28) Линии 2-го порядка. Вывод канонических уравнений окружности, эллипса, гиперболы, параболы.
3) Алгебраические дополнения. Вычисление определителя путём создания нулей в какой-либо строке или столбце. Показать на примере.
Алгеброическим дополнением Aij элемента aij называется его минор Mijвзятый со знаком (-1)i+j ,т.е Aij=(-1)i+j*Mij
Пример: ∆= a13=(-1)1+3* Вычислим определитель создав нули в первом столбце и затем разложим определитель по элементам этого столбца воспользуемся шестым свойством определителя(элементы второй строки прибавим соответствующие элементы второй строки умноженные на (-3) из элементов третьей строки вычтем соответствующие элементы первой строки
∆ -3 -1 = =a11*A11+a22*A22+a31*A31= 1(-1)1+1 +0+0=-2
4) Что называется матрицей? Действия с матрицами. Обратная матрица. Матричный метод решения систем линейных уравнений.
Матрицей размера m*n называют таблицу чисел состоящую из m строк и n столбцов.
Действия над матрицами: суммой 2х матриц одного размера называется матрица того же размера каждый элемент которой есть сумма соответствующих. Теорема о сложении матриц обладает свойствами: коммутативное A+B=D+A, ассоциативности (A+B)+C=A+(A+B), умножение: чтобы получить произведение 2-х матриц необходимо элементы i-ой строки умножить на соответствующие элементы j-ой и результат сложить. Умножение не обладает переместительным свойством. AB=A22*B2*3
Матрица А-1 называется обратной матрицей к матрице А если выполняется условие
А-1*А=Е и вычисляется по формуле А-1=1/А(А~)T=1/∆. Для того чтобы существовала единственная матрица необходимо чтобы она была вырожденной.
Алгоритм: вычислить определитель, найти все алгебраические дополнения и записать матрицу, транспонировать полученную матрицу, каждое число умножить на число.
Матричный метод: систему можно записать в матричном виде, где матрица А составлена при элементах при неизвестных Х матрицы неизвестных в матрице свободных коэффициентов. Если количество уравнении равно количеству неизвестных, матрица А невырожденная (0 пред не равен нулю) то умножая обе части матричного уравнения a*x=b на обратную матрицу А слева получим решение системы в матричной форме А*Х=В, А-1А*Х=А-1В, Х=А-1*В
5)Ранг матрицы. Способы вычисления ранга матрицы. Теорема Кронекера-Капелли при исследовании системы уравнений.
Рангом матрицы A называется максимальный порядок отличных от нуля миноров матрицы A ( )(наибольшее число линейно независимых стр/столб) Ранг матрицы A можно вычислить последовательным нахождением его миноров, начиная с максимальных. Однако удобнее использовать свойство ранга: ранг матрицы не меняется при любых элементарных преобразованиях этой матрицы Найти ранг матрицы .1 способ. Используя определение, найдем ранг матрицы : .Отсюда следует, что Найдем какой-либо минор второго порядка. .Максимальный порядок отличного от нуля минора второй. Следовательно, .2 способ. Применим метод элементарных преобразований матриц. Используя эти преобразования, матрицу можно привести к такому виду, когда все ее элементы, кроме , равны нулюТ.КРОННЕКЕРА-КОППЕЛИ: система линейных алгебраических уравнений будет совместна, если ранг матрицы из коэффициентов при неизвестных был равен рангу расширенной матрицы B, полученной из матрицы приписыванием столбца свободных членов.1)rang(A)=rang(B)=n то сис-ма имеет единств решен 2) r(A)=r(B)≠n то сис-ма имеет ∞ решен 3) r(A)≠r(B) то сис-ма не имеет решен