- •1)Вычисление определителя 2-го порядка. Вычисление определителя 3-го порядка разложением его по элементам какой-либо строки или столбца.
- •2) Что такое определитель? Что называется минором? Основные свойства определителей. Правило Крамера для решения систем линейных уравнений.
- •3) Алгебраические дополнения. Вычисление определителя путём создания нулей в какой-либо строке или столбце. Показать на примере.
- •4) Что называется матрицей? Действия с матрицами. Обратная матрица. Матричный метод решения систем линейных уравнений.
- •5)Ранг матрицы. Способы вычисления ранга матрицы. Теорема Кронекера-Капелли при исследовании системы уравнений.
- •6) Метод Гаусса в решении систем линейных уравнений. Перечислить основные эквивалентные преобразования системы уравнений, допускаемые при использовании метода Гаусса.
- •8) Векторы, равенство векторов. Определение коллинеарности и компланарности векторов. Модуль вектора. Угол между векторами. Линейные операции с векторами.
- •9) Понятие линейной зависимости и независимости системы векторов.
- •10) Определение координат векторов. Вычисление координат вектора по известным координатам его начала и конца. Линейные операции над векторами в координатной форме.
- •11) Разложение вектора по базису. Вычисление длины вектора. Условия коллинеарности векторов. Определение направления вектора с помощью направляющих косинусов.
- •12) Определение скалярного произведения двух векторов. Привести формулы скалярного произведения. Условие перпендикулярности двух векторов.
- •13) Дать определение векторного произведения, двух векторов. Вычисление с помощью векторного произведения площадей параллелограмма и треугольника.
- •14) Определение смешанного произведения 3-х векторов и его геометрический смысл. Вычисление смешанного произведения векторов в координатной форме. Условие компланарности векторов.
- •15) Вывод уравнения плоскости, проходящей через заданную точку и имеющую заданный нормальный вектор. Общее уравнение плоскости.
- •16) Вывод уравнения плоскости в отрезках.
- •17) Вывод уравнения плоскости, проходящей через 3 точки.
- •18) Определение угла между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.
- •19)Вывод формулы расстояния от точки до плоскости.
- •20) Приведение общих уравнений прямой в пространстве к каноническому виду.
- •21) Способы задания прямой в пространстве. Общие уравнения прямой и канонические уравнения прямой.
- •22) Угол между двумя прямыми в пространстве. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых в пространстве.
- •23) Отыскание точки пересечения прямой в пространстве с плоскостью.
- •24) Определение и вычисление угла между прямой в пространстве и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.
- •26) Прямая на плоскости. Записать несколько видов уравнений, полученных как частный случай из уравнений плоскости и прямой в пространстве. Дать пояснения к этим уравнениям.
- •27) Уравнение прямой на плоскости с угловым коэффициентом. Записать формулу тангенса угла между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.
- •28) Линии 2-го порядка. Вывод канонических уравнений окружности, эллипса, гиперболы, параболы.
11) Разложение вектора по базису. Вычисление длины вектора. Условия коллинеарности векторов. Определение направления вектора с помощью направляющих косинусов.
В пространстве вектор а может быть разложен по базиу I j k т.е может быть представлен в виде a=axi+ayj+azk коэффициенты этого разложения есть координаты вектора a(ax; ay;az) вычисляется по формуле |a|= . Если координаты векторов a(ax; ay;az) и b(bx; by;bz) пропорциональны ax/ bx= ay/ by= az/ bz то эти вектора называются коллениарными. Для определения направления вектора используются углы между осями координат – альфа, бета, гамма. Направляющие косинусы служат координатами единичного вектора: ; ; ; ;
Направляющие cos связанны соответствием cos2альфа+cos2бетта+cos2гамма=1
12) Определение скалярного произведения двух векторов. Привести формулы скалярного произведения. Условие перпендикулярности двух векторов.
Скалярным произведением 2х векторов (a,b) называется число равное произведению их модулей на косинус угла между ними: cos(a^b)=ab/|a|*|b|
(a*b)=|a|*|b|*cos|a^b|/ Физический смысл скалырное произведение силы F на вектор S равно работе А этой силы при переиещении материальной точки. Свойства скалярного произведения: (a*b)=(b*a), (a+b)c=(a*c)+(b*c),((лямда*a)b)=лямда*(a*b). Если a(ax;ay;az) и b(bx;by;bz) то скалярное произведение вычисляется по формуле (a*b)= ax* bx+ ay* by+ az* bz Если a=b то скалярный квадрат равен квадрату его модуля |a|= a2=
а перпендикулярен b тогда и только тогда когда a и b нулевые векторы,
а перпендикулярен b= ax* bx+ ay* by+ az* bz=0 работа Св-ва: 1) -антиперестановочн 2) -распредел 3) - сочетательн 4) тогда и только тогда, когда . 5) Если , то 6) Если ,то 7) 8)
13) Дать определение векторного произведения, двух векторов. Вычисление с помощью векторного произведения площадей параллелограмма и треугольника.
Векторным произведением вектора a на вектор b называется такой третий вектор с=[a*b] модуль и направление которого определяется условиями: |c|=|[a*bs]|=|a|*|b|*sin(a^b), c перпендикулярен a и b, векторы a,b,c образуют правую тройк, тоесть елси смотреть с конца вектора с то кратчайший поворот вектора а к вектору b совершится против часой стрелки. Физический смысл- если F сила приложенная к точке b то момент M этой силы равен векторному произведению векторов AB и F тоесть M=|AB*F|. Свойства: [a*b]=-[b*a],[(a+b)*c]=[a*c]+[b*c],[(лямда*а*b)]=лямда*[a*b], Если a||b то [a*b]=0
4) Если , то 5) Если то (в декартовой СК) Если векторы и неколлинеарны и приведены к общему началу, то Площадь треугольника, построенного на векторах и ,
14) Определение смешанного произведения 3-х векторов и его геометрический смысл. Вычисление смешанного произведения векторов в координатной форме. Условие компланарности векторов.
Смешанное произведение 3х векторов называется число, равное скалярному произведению одного из векторов на векторное произведение двух других (a,b,c)=[a*b]*c=а*[b*c]. Геометрический смысл – в пространстве каждая 3-ка не комплонарных векторов приложенных к 1ой точке определяет параллепипед ребрами которых эвляются эти вектора. Объём параллепипеда построенного на данных векторах как на сторонах и приведенных к общему началку равен смешанному произведению этих 3х векторов. Необходимым и достаточным условием комплонарности 3х векторов a,b,c является равенство нулю их смешанного произведения (a,b,c)=0. Vпар-да=(|a*b*c|) Vтетраэдра=1/6Vпар-да=1/6|(a*b*c)|. Условия: (a*b)=0↔a перпендикулярен b, [a*b]=0↔ a||b,(a*b*c)=0