Лекция 5. Давление жидкости на окружающие её стенки

Важнейшей задачей гидростатики является определение сил, с которыми жидкость действует на окружающие её твёрдые стенки. Очень часто необходимо знать величину, направление и точку приложения сил, вызванных давлением, чтобы правильно провести прочностные расчёты элементов конструкции гидропривода (гидравлических машин, аппаратов и арматуры). Подобные задачи необходимо решать и в ходе проектирования гидротехнических сооружений (плотин, дамб, причалов и т.д.). Проанализируем решение наиболее часто возникающих (типовых) задач.

Сила давления жидкости на плоскую стенку

Р ассмотрим произвольную площадку ds, расположенную на плоской наклонной стенке сосуда с жидкостью на расстоянии Y от оси X, и определим силы, действующие на эту площадку. Сила от давления, действующего на элементарную площадку dS, будет описываться формулой:

Если проинтегрировать это выражение по площади, можно определить полную силу, действующую на всю площадь целиком

Из рисунка ясно, что в последнем выражении . Подставив значение h в предыдущее выражение, будем иметь:

Из теоретической механики известно, что интеграл есть ни что иное, как статический момент площади S относительно оси 0X. Он равен произведению этой площади на координату её центра тяжести, т.е. можно записать

где Y_с – расстояние от оси X до центра тяжести площади S.

Подставив формулу момента в выражение силы, получим:

Анализ второго слагаемого показывает, что произведение это глубина положения центра тяжести площадки, а - избыточное давление жидкости в центре тяжести площадки. С учётом этого можно записать

Сумма в скобках в последнем выражении является абсолютным давлением в центре тяжести рассматриваемой произвольной площадки. Таким образом, можно сделать вывод: полная сила давления жидкости на плоскую стенку равна произведению её площади на величину гидростатического давления в центре тяжести этой стенки.

Однако необходимо учесть, что эта сила не сконцентрирована в точке, а распределена по площади. И распределение это неравномерно. По этой причине для расчётов, кроме величины силы действующей на наклонную площадку, необходимо знать точку приложения равнодействующей.

Центр давления

Распределённую нагрузку, действующую на наклонную стенку, заменим сконцентрированной. Для этого найдём на наклонной стенке положение точки D, в которой приложена равнодействующая силы давления. Точку, в которой приложена эта сила, называют центром давления. Как уже неоднократно рассматривалось, давление, действующее в любой точке, в соответствии с основным уравнением гидростатики складывается из двух частей: внешнего давления P₀, передающегося всем точкам жидкости одинаково, и давления столба жидкости P, определяемого глубиной погружения этой точки.

Давление P0 передаётся всем точкам площадки одинаково. Следовательно, равнодействующая Fвн этого давления будет приложена в центре тяжести площадки S. При этом надо учитывать, что в большинстве случаев это давление действует и со стороны жидкости и с наружной стороны стенки.	Давление P увеличивается с увеличением глубины. При этом величина равнодействующей этой силы Fизб известна и равна , а точку её приложения необходимо определить.

Д ля нахождения центра избыточного давления жидкости применим уравнение механики, согласно которому момент равнодействующей силы относительно оси 0X равен сумме моментов составляющих сил, т.е.

где Y_D - координата точки приложения силы F_изб,

Y – текущая глубина.

Учтём, что, если h_c выразить как координату точки C по оси Y, то F_изб примет вид:

Заменив в этом выражении F_изб и Y_D интегралом, в соответствии с упомянутым уравнением механики, будем иметь:

Отсюда выразим Y_D:

Интеграл в числителе дроби является статическим моментом инерции площади S относительно оси 0X и обычно обозначается J_x

.

Из теоретической механики известно, что статический момент площади относительно оси вращения равен сумме собственного момента инерции (момента инерции этой площади относительно оси проходящей через её центр тяжести и параллельной первой оси) и произведению этой площади на квадрат расстояния от оси вращения до центра её тяжести

.

С учётом последнего определения Y_D окончательно можно выразить в виде:

.

Таким образом, разница в положениях ∆Y (глубинах) центра тяжести площадки (т. C) и центра давления (т. D) составляет

.

В итоге можно сделать следующие выводы. Если внешнее давление действует на стенку с обеих сторон, то найденная точка D будет являться центром давления. Если внешнее давление со стороны жидкости выше давления с противоположной стороны (например, атмосферного), то центр давления находится по правилам механики как точка приложения равнодействующей двух сил: силы, создаваемой внешним давлением, и силы, создаваемой весом жидкости. При этом, чем больше внешнее давление, тем ближе располагается центр давления к центру тяжести.

В гидроприводе технологического оборудования внешние давления в десятки и сотни раз превышают давления, вызванные высотой столба жидкости. Поэтому в расчётах гидравлических машин и аппаратов положение центров давления принимаются совпадающими с центрами тяжести.