Частные случаи интегрирования уравнений Эйлера п окой жидкости под действием силы тяжести

Сначала рассмотрим простейший случай покоя. Жидкость находится под действием силы тяжести. Это означает, что проекции ускорений на оси X и Y отсутствуют. Единственным ускорением является ускорение свободного падения g, т. е.:

, , .

Тогда полный дифференциал давления после подстановки в него ускорений примет вид:

.

После интегрирования этого выражения получим:

.

Постоянную интегрирования, равную

^,

найдём, подставив параметры свободной поверхности и .

После подстановки этих значений в интеграл P будем иметь равенство:

Переписав это выражение в другом виде, получим

Если обозначить (Z₀ - Z) через h, то приведённое равенство примет уже знакомый вид основного уравнения гидростатики

.

Из этого же равенства можно получить следующий вид

,

или

Последнее выражение часто называют основным законом гидростатики.

Физический смысл основного закона гидростатики

Полученный выше основной закон гидростатики несложно вывести, опираясь на следующие рассуждения. Они не носят строгого математического характера, но правильно отражают физику явления.

Р ассмотрим произвольную точку a внутри покоящегося объёма жидкости, которая расположена на какой-то высоте относительно некоторого произвольного уровня. Этот уровень назовём нулевым уровнем (нулевой линией). Будем считать, что на этой линии потенциальная энергия, зависящая от положения рассматриваемого объёма жидкости, равна 0. С точки зрения практики можно считать, что это уровень, ниже которого рассматриваемый объём жидкости не может пролиться. Например, для лабораторного стакана это уровень стола, для гидросистемы станка – уровень пола, для системы отопления - уровень земли или подвала.

В

dW

близи т. a выберем элементарный объём dW. Выразим потенциальную энергию этого объёма, как сумму двух составляющих: энергии, зависящей от положения над нулевой линией , и энергии сжатия , зависящей от степени внутреннего напряжения в выбранном объёме.

где - давление в т. a,

- масса объёма dW, выбранного вокруг т. a.

Тогда потенциальная энергия будет выражена

Если учесть, что , и подставить его в последнее выражение, получится

Раскрыв скобки, получим

После сокращения будем иметь

С другой стороны исходное выражение для потенциальной энергии рассматриваемого объёма имеет вид . Тогда можно записать

.

Разделим обе части этого выражения на вес рассматриваемого объёма . В результате получится уже известное выражение основного закона гидростатики

Если вспомнить, что т. a была выбрана произвольно, можно записать полученное равенство в общем виде

Из вывода ясно, что физический смысл основного закона гидростатики – закон сохранения энергии для покоящейся жидкости, который говорит о том, что механическая энергия любой частицы жидкости одинакова.

В этом выражении:

- потенциальная энергия единицы веса жидкости, определяемая положением над нулевой линией,

- потенциальная энергия единицы веса жидкости, зависящая от степени её сжатия.

В геометрической интерпретации константу обозначают буквой H и называют гидростатическим напором, а саму формулу записывают в виде:

Слагаемые основного закона гидростатики в этом случае называют:

- нивелирная высота,

- пьезометрическая высота.