Глава 13. Інтенсивність та ширина спектральних ліній

1. Ймовірність переходів

Розглянемо систему з двома енергетичними рівнями і (рис.13.1), на кожному із яких знаходиться і електронів. Їх енергетична ієрархія може бути якісно оцінена за правилами Хунда (Гунда), які розглядались раніше у 11-й главі.

Рис.13.1. Система із 2-х рівнів.

Значення і знаходять експериментально або із розрахунків, наприклад методом стаціонарної теорії збурень, яка застосовувалась у попередній главі при розгляді рівнів атомів гелію. Між рівнями і можуть відбуватися три різновиди електронних переходів: 1) - вимушений перехід з поглинанням кванта ; 2) - вимушений перехід з випромінюванням кванта ; 3) - спонтанний перехід з випромінюванням кванта . Позначимо кількість таких переходів за одиницю часу через і відповідно. Вони зв’язані з коефіцієнтами Ейнштейна :

(13.1)

(13.2)

, (13.3)

де - спектральна густина випромінювання, віднесена до одиничного інтервалу частот [ерг·с/cм³]. Коефіцієнти Ейнштейна характеризують даний електронний перехід. Вони визначають імовірності переходів, хоча і відрізняються від безрозмірних математичних ймовірностей, бо і - імовірності переходів за одиницю часу і тому мають розмірності [c^-1] і [см^-3ерг^-1с^-2] відповідно. Ці коефіцієнти зв’язані між собою, бо у стані рівноваги має місце співвідношення:

(13.4)

Для встановлення зв’язку між коефіцієнтами Ейнштейна підставимо у (13.4) вирази (13.1), (13.2) і (13.3), розв’яжемо рівняння відносно і порівняємо з формулою Планка для спектральної густини випромінювання абсолютно чорного тіла:

.

З урахуванням, що за розподілом Больцмана , остаточно отримаємо:

, (13.5)

, (13.6)

де і - статистичні ваги (ступені виродження) рівнів і . Із співвідношення (13.6) видно, що інтенсивність спонтанних переходів пропорційна кубу частоти, тому при дуже низьких частотах основну роль відіграють вимушені переходи.

2. Золоте правило Фермі

Імовірність вимушених переходів w_іf із початкового стану і до

кінцевого стану за одиницю часу залежить від інтенсивності світла, що його викликає. При не дуже великих інтенсивностях світла доведення формули розглядається в квантовій механіці за допомогою нестаціонарної теорії збурень і визначається золотим правилом Фермі

, (13.7)

де ω - кругова частота коливань електромагнітної хвилі, і - енергії у стаціонарних станах і відповідно , а - матричний елемент оператора збурення

, (13.8)

а - хвильові функції незбуреної системи в її кінцевому і початковому стаціонарних станах відповідно.

============================================================

Знайдемо ймовірність вимушеного електронного переходу методом нестаціонарної теорії збурень під дією електромагнітної хвилі

(13.д.1)

Розмір атома тому наближено Електричне поле хвилі створює потенціал що збурює атом протягом інтервалу часу від t₀ до .

. (13.д.2)

Рівняння Шредінґера для випадку збурення, має вигляд

, (13.д.3)

де - довільне позитивне число, менше одиниці. Для випадку

, (13.д.4)

де

. (13.д.5)

- характеризує ймовірність знаходження електрона в квантовому стані n.

При наявності збурення шукатимемо розв’язок (13.д.4) у вигляді

(13.д.6)

методом варіації змінного коефіцієнта Підстановкою (13.д.6) в (13.д.3) з урахуванням (13.д.4) отримаємо:

. (13.д.7)

Помножимо обидві частини рівняння (13.д.7) і проінтегруємо по всьому простору

(13.д.8)

, (13.д.8*)

де використано

(13.д.9)

(13.д.9*)

(13.д.10)

(13.д.11)

У подальшому будемо називати матричним елементом оператора збурення .

Система рівнянь (13.д.8*) точна, але її розв'язок отримати досить складно, тому наступним кроком є наближене представлення коефіцієнтів – амплітуд імовірності за допомогою ряду

(13.д.12)

Параметр λ вказує на порядок малості. У відсутності збурення (в нульовому наближенні) усі поправки, починаючи з , дорівнюють нулю для , а

, (13.д.12*)

бо при система дійсно знаходиться у початковому стані з імовірністю рівною одиниці.

Рівняння (13.д.8*) із урахуванням (13.д.12*) зводяться до системи рівнянь

(13.д.13)

У першому наближенні залишається лише перше рівняння

, (13.д.13*)

розв’язок якого дає амплітуду ймовірності переходу із початкового стану в кінцевий

. (13.д.13**)

Після інтегрування (13.д.13*) у межах від до , де - інтервал часу дії збурення, отримаємо суму двох членів, в одному з яких у знаменнику стоїть , а в другому - . Врахувавши, що для поглинання світла , отримаємо

(13.д.14)

(13.д.15)

(13.д.16)

Підставивши (13.д.15) в (13.д.14), маємо

. (13.д.17)

Імовірність переходу із стану і до іншого стану f за одиницю часу дорівнює

(13.д.18)

Цей вираз називається золотим правилом Фермі.

============================================================

Для того, щоб за допомогою золотого правила Фермі (13.7) знайти коефіцієнт вимушеного переходу Ейнштейна, необхідно знати потенціал збурення та спектральну густину випромінювання , що збурює систему. Для плоскої електромагнітної хвилі з довжиною хвилі (у довгохвильовому наближенні), де – розмір атома, матричний елемент оператора збурення згідно (13.д.2) дорівнює:

, (13.9)

де - напруженість електричного поля електромагнітної хвилі, що збурює, а - матричний елемент дипольного моменту. Спектральна густина випромінювання запишеться за допомогою відомих формул електродинаміки

, (13.10)

де квадрати - середні значення квадратів напруженості електричного і магнітного полів, і для ізотропного випромінювання .

Комбінуючи (13.9) та (13.10), отримаємо

, (13.11)

де використано, що і .

Після інтегрування по всім частотам маємо

. (13.12)

Згідно (13.2),

(13.13)

Порівнюючи вирази (13.12) і (13.13), остаточно отримаємо вираз для коефіцієнта вимушених переходів Ейнштейна

(13.14)

Таким чином, знаючи хвильові функції початкових та кінцевих (f) стаціонарних станів, можна знайти матричні елементи переходу і коефіцієнти Ейнштейна та , які описують відповідно поглинання та випромінювання світла.

Для неполяризованого випромінювання (або при круговій поляризації) густина випромінювання збільшується вдвічі, тому що при круговій поляризації є дві взаємо перпендикулярні складові і і тому .