18. Линейные пространства. Примеры. Линейная зависимость и независимость векторов линейного пространства. Базис. Размерность.
Определение линейного пространства
Пусть V -
непустое множество (его элементы будем
называть векторами и обозначать 
...),
в котором установлены правила:
1)
любым двум элементам 
соответствует
третий элемент 
называемый
суммой элементов 
(внутренняя
операция);
2)
каждому 
и
каждому 
отвечает
определенный элемент 
(внешняя
операция).
Множество V называется действительным линейным (векторным) пространством, если выполняются аксиомы:
I. 
II. 
III. 
(нулевой
элемент, такой, что 
).
IV. 
(элемент,
противоположный элементу 
),
такой, что 
V. 
VI. 
VII. 
VIII. 
Аналогично
определяется комплексное линейное
пространство (вместо R рассматривается C).
Ба́зис (др.-греч. βασις, основа) — множество таких векторов в векторном пространстве, что любой вектор этого пространства может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации векторов из этого множества -базисных векторов.
Число k называется размерностью линейного пространства L, если в L существует система из k линейно независимых векторов, а любая система из k+1 вектора — линейно зависима.
19. Координаты вектора в данном базисе. Действия с координатами. Преобразование координат при переходе к новому базису.
20. Подпространства линейного пространства. Линейная оболочка векторов. Размерность подпространства. Теорема о размерности линейной оболочки. Пересечение и сумма подпространств. Теорема о размерности суммы и пересечения двух подпространств.
21. Линейные операторы в линейном пространстве. Матрица оператора. Примеры операторов и матриц. Теорема о матричной записи линейного оператора.
22. Ядро и образ линейного оператора. Примеры. Теорема о размерности ядра и образа линейного оператора.
23. Преобразование матрицы оператора при переходе к новому базису.
24. Суперпозиция, сумма операторов, произведение оператора на число. Матрица суммы операторов, матрица суперпозиции операторов (без доказательства). Обратный оператор. Теорема об обратном операторе (без доказательства).
25. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Линейная независимость собственных векторов, соответствующих разным собственным значениям. Характеристический многочлен. Достаточное условие приводимости матрицы оператора к диагональному виду.
26. Евклидовы пространства. Определение. Примеры. Неравенство Коши-Буняковского. Норма. Угол между элементами. Ортонормированный базис. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта системы векторов. N-мерный параллелепипед. Матрица Грама и её применение к вычислению объема n-мерного параллелепипеда (без доказательства).
27. Линейные операторы в евклидовом пространстве. Сопряженный оператор. Основные свойства (без доказательства).
28. Самосопряженный оператор. Вещественность собственных значений, ортогональность собственных векторов, соответствующих разным собственным значениям, существование ортонормированного базиса из собственных векторов (без доказательства).
29. Ортогональный оператор. Свойства ортогональных операторов (сохранение длин и углов, собственные значения, ортогональная матрица, ортогональный оператор в 2-мерном случае). Теорема об общем виде ортогонального оператора (без доказательства).
30. Билинейные и квадратичные формы. Изменение матрицы билинейной формы при замене базиса. Симметрические билинейные формы.
31. Квадратичные формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа. Нормальный вид формы. Закон инерции квадратичных форм (без доказательства).
32. Квадратичные формы в евклидовом пространстве. Приведение квадратичной формы к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования.
33. Знакоопределенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра (без доказательства).
34. Кривые и поверхности второго порядка. Их канонические уравнения и основные свойства (без доказательства). Исследование поверхностей второго порядка методом сечений.
35.Классификация линий 2-го порядка на плоскости и поверхностей 2-го порядка в пространстве. Приведение кривых 2-го порядка к каноническому виду.