Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Обнинский институт атомной энергетики НИЯУ МИФИ

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Экзамен алгем.docx

Скачиваний:

Добавлен:

21.04.2019

Размер:

456.28 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 85 6 7 8 > Следующая >>>

7. Выражение скалярного, векторного и смешанного произведения в декартовой системе координат. Некоторые приложения к вычислениям объемов и площадей.

Пусть два вектора заданы своими разложениями по ортам в декартовой системе координат

Тогда скалярное произведение

Помня, что от перестановки сомножителей скалярного произведения результат не меняется, получим

Учитывая эти результаты, найдем

Скалярное произведение векторов, заданных проекциями в декартовой системе координат, равно сумме произведений одноименных координат.

Подчеркнем еще раз, что эта формула справедлива только в ортонормированном базисе.

Косинус угла между векторами определится выражением

Пусть два вектора заданы своими разложениями по ортам в декартовой системе координат

Найдем векторное произведение

Помня, что от перестановки сомножителей векторного произведения результат меняет знак, получим

Учитывая эти результаты, найдем

или

Т.о., вектор, получаемый в результате векторного произведения векторов, заданных своими координатами, получается из определителя, первой строкой которого являются координатные орты, вторая и третья строки состоят, соответственно, из координат первого и второго сомножителей.

Пусть векторы заданы своими разложениями по ортам в декартовой системе координат

Из 3.6.2 известно, что

Скалярно умножим этот вектор на вектор и, учитывая свойства скалярного произведения, получим

Это выражение может быть получено при вычислении определителя

по элементам третьей строки, исходя из правила вычисления определителя.

Поэтому смешанное произведение трех векторов обозначают как , не подчеркивая при этом, какая пара векторов умножается векторно.

8. Преобразование координат на плоскости (поворот и параллельный перенос).

Параллельный сдвиг координатных осей (рис. 4.8)

Поворот координатных осей (рис. 4.9)

Параллельный сдвиг и поворот координат осей (рис. 4.10)

9. Уравнения линий и поверхностей. Алгебраические линии и поверхности. Теорема об инвариантности порядка. Параметрическое задание линий и поверхностей.

Класс трёхмерных параметрических поверхностей определяется функцией , зависящей от k параметров и отображающей некоторое связное множество из n-мерного пространства в трёхмерноепространство таким образом, что это отображение является поверхностью. Эта функция F задаёт класс поверхностей, а набор k параметров - конкретную поверхность из этого класса.

Наиболее практичным является случай, когда множество является единичным квадратом в двумерном пространстве. В этом случае параметрическую поверхность можно описать так:

(x,y,z) = F(u,v) или , где

Параметрические уравнения линии

Обозначим буквами х и у координаты некоторой точки М; рассмотрим две функции аргумента t:

, (1)

При изменении t величины х и у будут, вообще говоря, меняться, следовательно, точка М будет перемещаться. Равенства (1) называются параметрическими уравнениями линии, которая является траекторией точки М; аргумент t носит название параметра. Если из равенств (1) можно исключить параметр t, то получим уравнение траектории точки М в виде

F(x, y)=0.

Понятия об уравнениях линии и поверхности.

Пусть Oxy и Oxyz − афинные системы координат на плоскости и в пространстве. Уравнение

F(x, y) = 0, (5.1.1)

соответствеено

F(x, y, z) = 0, (5.1.2)

называется уравнением линии L на плоскости (поверхности π в пространстве) в заданной системе координат, если этому уравнению удовлетворяют координаты всех точек линии L (поверхности π), и только они. Очевидно, что уравнения в заданной системе координат определяют одну и ту же линию (поверхность) тогда и только тогда, когда они эквивалентны. Алгебраическим одгочленом относитеьно переменных x, y (соответственно x, y, z) с вещественным коэффициентом λ называется выражение

λ xpyq (λ xpyqzr), (5.1.3)

где p, q, r − целые неотрицательные числа. Если λ ≠ = 0, то число p + q (p + q + r) называется степенью одночлена. Алгебраическим многочленом относительно переменных x, y (x, y, z) с вещественными коэффициентами называется конечная сумма алгебраических одночленов (5.1.3). Наибольшая степень одночленов, входящих в многочлен, называется cтепенью многочлена. Линия на плоскости (поверхность в пространстве) называется алгебраической, если в некоторой аффинной системе координат она определяется уравнением (5.1.1) (соответственно (5.1.2)), где F(x, y) (соответственно F(x, y, z)) − алгебраический многочлен от переменных x, y (x, y, z) с вещественными коэффициентами. Степень многочлена F(x, y) (соответственно F(x, y, z)) называется порядком линии (поверхности). Теорема 5.1. При переходе от одной аффинной системе координат к другой алгебраическая линия (поверхность) остается алгебраической и порядок ее не изменяется. Доказательство проведем для линии. Пусть на плоскости в аффинной системе координат Oxy линия L определяеися уравнением (5.1.1), где F(x, y) − алгебраический многочлен степени n. При переходе к новой системе координат O'x'y'уравнение (5.1.1) преобразуется в уравнение F'( x', y') = 0. Покажем, что F'(x', y') − тоже алгебраический многочлен и его степень n' = n. Для этого вкаждый одночлен λ xpyq многочлена F(x, y) вместо x и y подставим их выражения через x', y'согласно формулам преобразования координат . Тогда λ xpyq = λ(с11x' + с12y' + α)p(с21x' + с22y' + β)q. Следовательно, одночлен λ xpyq преобразуется в алгебраический многочлен от переменных xp, yq, степень которого не превосходит p + q. При этом многочлен F(x, y) преобразуется в алгебраический многочлен F'(x', y'), степень которого n' ≤ n. Если в этих рассуждениях поменять ролями системы координат, то получим, что n ≤ n', т.е. n' = n. Теорема доказана.

10. Плоскость. Виды уравнений плоскости. Признаки параллельности, перпендикулярности плоскостей. Вычисление угла между плоскостями и расстояния от точки до плоскости. Нормальное уравнение плоскости. Отклонение точки от плоскости.

Плоскость — поверхность, содержащая полностью каждую прямую, соединяющую любые её точки.

Плоскость — алгебраическая поверхность первого порядка: в декартовой системе координат плоскость может быть задана уравнением первой степени.

Общее уравнение (полное) плоскости

где и — постоянные, причём и одновременно не равны нулю; в векторной форме:

где — радиус-вектор точки , вектор перпендикулярен к плоскости (нормальный вектор). Направляющие косинусы вектора :

Если один из коэффициентов в уравнении плоскости равен нулю, уравнение называется неполным. При плоскость проходит через начало координат, при (или , ) П. параллельна оси (соответственно или ). При ( , или ) плоскость параллельна плоскости (соответственно или ).

Уравнение плоскости в отрезках:

где , , — отрезки, отсекаемые плоскостью на осях и .

Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору нормали :

в векторной форме:

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки , не лежащие на одной прямой:

(смешанное произведение векторов), иначе

Нормальное (нормированное) уравнение плоскости

в векторной форме:

где - единичный вектор, — расстояние П. от начала координат. Уравнение (2) может быть получено из уравнения (1) умножением на нормирующий множитель

(знаки и противоположны).

Две плоскости являются либо параллельными, либо пересекаются по прямой.

Прямая либо параллельна плоскости, либо пересекает ее в одной точке, либо находится на плоскости.

Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны друг другу.

Две плоскости, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны друг другу.

Расстояние от точки до плоскости

Расстояние от точки до плоскости — это наименьшее из расстояний между этой точкой и точками плоскости. Известно, что расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.

Отклонение точки от плоскости заданной нормированным уравнением