15. Свойства определителей. Минор, алгебраическое дополнение. Теорема о разложении определителя по элементам ряда.

Свойства определителей

СВОЙСТВО 1. Величина определителя не изменится, если все его строки заменить столбцами, причем каждую строку заменить столбцом с тем же номером, то есть

.

СВОЙСТВО 2. Перестановка двух столбцов или двух строк определителя равносильна умножению его на -1. Например,

.

СВОЙСТВО 3. Если определитель имеет два одинаковых столбца или две одинаковые строки, то он равен нулю.

СВОЙСТВО 4. Умножение всех элементов одного столбца или одной строки определителя на любое число k равносильно умножению определителя на это число k. Например,

.

СВОЙСТВО 5. Если все элементы некоторого столбца или некоторой строки равны нулю, то сам определитель равен нулю. Это свойство есть частный случае предыдущего (при k=0).

СВОЙСТВО 6. Если соответствующие элементы двух столбцов или двух строк определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

СВОЙСТВО 7. Если каждый элемент n-го столбца или n-й строки определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей, из которых один в n-м столбце или соответственно в n-й строке имеет первые из упомянутых слагаемых, а другой - вторые; элементы, стоящие на остальных местах, у вех трех определителей одни и те же. Например,

СВОЙСТВО 8. Если к элементам некоторого столбца (или некоторой строки) прибавить соответствующие элементы другого столбца (или другой строки), умноженные на любой общий множитель, то величина определителя при этом не изменится. Например,

.

Дальнейшие свойства определителей связаны с понятием алгебраического дополнения и минора. Минором некоторого элемента называется определитель, получаемый из данного путем вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых расположен этот элемент.

Алгебраическое дополнение любого элемента определителя равняется минору этого элемента, взятому со своим знаком, если сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых расположен элемент, есть число четное, и с обратным знаком, если это число нечетное.

Алгебраическое дополнение элемента мы будем обозначать большой буквой того же наименования и тем же номером, что и буква, кторой обозначен сам элемент.

СВОЙСТВО 9. Определитель

равен сумме произведений элементов какого-либо столбца (или строки) на их алгебраические дополнения.

Иначе говоря, имеют место следующие равенства:

,  ,

,  ,

,  .

Минор   матрицы A ― определитель квадратной матрицы порядка k (который называется также порядком этого минора), элементы которой стоят в матрице A на пересечении строк с номерами   и столбцов с номерами  .

Алгебраическим дополнением элемента   матрицы   называется число

,

где   — дополнительный минор, определитель матрицы, получающейся из исходной матрицы   путем вычёркивания i -й строки и j -го столбца.

Теорема Лапласа. Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

16. Следствие из теоремы о разложении определителя. Обратная матрица. Формулы Крамера. Ранг матрицы. Базисный минор. Сохранение ранга при элементарных преобразованиях. Линейная зависимость и независимость строк. Теорема о базисном миноре. Второе определение ранга матрицы.

(Следствие 1)

Широко известен частный случай теоремы Лапласа — разложение определителя по строке или столбцу. Он позволяет представить определитель квадратной матрицы в виде суммы произведений элементов любой её строки или столбца на ихалгебраические дополнения.

Пусть A = (aij) — квадратная матрица размера  . Пусть также задан некоторый номер строки i либо номер столбца j матрицы A. Тогда определитель A может быть вычислен по следующим формулам:

Разложение по i-й строке: Разложение по j-му столбцу:

где Aij — алгебраическое дополнение к минору, расположенному в строке с номером i и столбце с номером j. Aij также называют алгебраическим дополнением к элементу aij.

Утверждение является частным случаем теоремы Лапласа. Достаточно в ней положить k равным 1 и выбрать i-ую строку, тогда минорами, расположенными в этой строке будут сами элементы.

Следствие 2

Сумма произведений всех элементов некоторой строки (столбца) матрицы А на алгебраические дополнения соответствующих элементов любой другой строки (столбца) равна нулю.

Обра́тная ма́трица — такая матрица A⁻¹, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:

Метод Крамера (правило Крамера) — способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы (причём для таких уравнений решение существует и единственно).

Описание метода

Для системы n линейных уравнений с n неизвестными (над произвольным полем)

с определителем матрицы системы Δ, отличным от нуля, решение записывается в виде

(i-ый столбец матрицы системы заменяется столбцом свободных членов). В другой форме правило Крамера формулируется так: для любых коэффициентов c₁, c₂, …, c_n справедливо равенство:

Формулы Крамера имеют вид:

  x _i =  _i ( i  =  ).                                                (5.4)

Из (5.4) следует правило Крамера, которое дает исчерпывающий ответ на вопрос о совместности системы (5.3): если главный определитель системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение, определяемое по формулам:

x _i =  _i / .

Если главный определитель системы  и все вспомогательные определители  _i = 0 (i=  ), то система имеет бесчисленное множество решений. Если главный определитель системы  = 0, а хотя бы один вспомогательный определитель отличен от нуля, то система несовместна.

Рангом системы строк (столбцов) матрицы A с m строк и n столбцов называется максимальное число линейно независимых строк (столбцов). Несколько строк (столбцов) называются линейно независимыми, если ни одна из них не выражается линейно через другие. Ранг системы строк всегда равен рангу системы столбцов, и это число называется рангом матрицы. Ранг матрицы – порядок базисного минора.

Базисным минором матрицы называется любой её ненулевой минор максимального порядка. Для того чтобы минор был базисным, необходимо и достаточно, чтобы все окаймляющие его миноры (то есть содержащие его миноры на единицу большего порядка) были равны нулю. Система строк (столбцов) матрицы, связанных с базисным минором, является максимальной линейно независимой подсистемой системы всех строк (столбцов) матрицы.

Элементарными преобразованиями строк называют:

перестановка местами любых двух строк матрицы;

умножение любой строки матрицы на константу  ,  ;

прибавление к любой строке матрицы другой строки, умноженной на константу  ,  .

В некоторых курсах линейной алгебры перестановка местами двух строк матрицы не вносятся в определение элементарных преобразований так как перестановку местами любых двух строк матрицы можно получить используя умножение любой строки матрицы на константу  ,   и прибавление к любой строке матрицы другой строки, умноженной на константу  ,  .

Аналогично определяются элементарные преобразования столбцов.

Элементарные преобразования обратимы.

Обозначение   указывает на то, что матрица   может быть получена из   путём элементарных преобразований (или наоборот).

Теорема о базисном миноре

            Теорема. В произвольной матрице А каждый столбец (строка) является линейной комбинацией столбцов (строк), в которых расположен базисный минор.

Таким образом, ранг произвольной матрицы А равен максимальному числу линейно независимых строк (столбцов) в матрице.  

            Если А- квадратная матрица и detA = 0, то по крайней мере один из столбцов – линейная комбинация остальных столбцов. То же самое справедливо и для строк. Данное утверждение следует из свойства линейной зависимости при определителе равном нулю.

17. Классификация систем – совместные, несовместные, определенные, неопределенные. Теорема Кронекера – Капелли. Исследование и решение неоднородных и однородных систем. Метод Гаусса. Фундаментальная совокупность решений однородной системы. Структура общего решения неоднородных систем (без доказательства).

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений.

Совместная система уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Две системы уравнений называются равносильными (эквивалентными), если они имеют одно и то же множество решений (например, одно решение).

 Теорема: Система совместна (имеет хотя бы одно решение) тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.

RgA = RgA^*.

 

            Очевидно, что система (1) может быть записана в виде:

x₁ + x₂ + … + x_n

 

            Доказательство.

            1) Если решение существует, то столбец свободных членов есть линейная комбинация столбцов матрицы А, а значит добавление этого столбца в матрицу, т.е. переход АА^* не изменяют ранга.

            2) Если RgA = RgA^*, то это означает, что они имеют один и тот же базисный минор. Столбец свободных членов – линейная комбинация столбцов базисного минора, те верна запись, приведенная выше.

Ме́тод Га́усса^[1] — классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которого последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные

Фундаментальная система решений (ФСР) представляет собой набор линейно независимых решений однородной системы уравнений.