- •Программа к экзамену по алгебре и геометрии
- •2. Декартова система координат. Простейшие задачи аналитической геометрии: деление отрезка в данном отношении и координаты центра масс.
- •3. Полярные координаты, цилиндрические и сферические координаты.
- •4. Проекция вектора на ось. Свойства проекции. Скалярное произведение. Выражение через проекцию. Свойства скалярного произведения. Условие ортогональности векторов.
- •5. Левые и правые тройки векторов. Векторное произведение. Свойства.
- •6. Смешанное произведение. Свойства. Условие компланарности векторов.
- •7. Выражение скалярного, векторного и смешанного произведения в декартовой системе координат. Некоторые приложения к вычислениям объемов и площадей.
- •8. Преобразование координат на плоскости (поворот и параллельный перенос).
- •9. Уравнения линий и поверхностей. Алгебраические линии и поверхности. Теорема об инвариантности порядка. Параметрическое задание линий и поверхностей.
- •11. Уравнения прямой на плоскости – общее, в отрезках, каноническое, нормальное. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой.
- •12. Уравнения прямой в пространстве. Канонические, параметрические, как пересечение двух плоскостей. Вычисление расстояния от точки до прямой, расстояния между скрещивающимися прямыми.
- •15. Свойства определителей. Минор, алгебраическое дополнение. Теорема о разложении определителя по элементам ряда.
- •18. Линейные пространства. Примеры. Линейная зависимость и независимость векторов линейного пространства. Базис. Размерность.
4. Проекция вектора на ось. Свойства проекции. Скалярное произведение. Выражение через проекцию. Свойства скалярного произведения. Условие ортогональности векторов.
Пусть в пространстве задана ось l, т. е. направленная прямая.
Проекцией точки М на ось l называется основание М1 перпендикуляра ММ1, опущенного из точки на ось.
Точка М1 есть точка пересечения оси l с плоскостью, проходящей через точку М перпендикулярно оси (см. рис. 7).
Если точка М лежит на оси l, то проекция точки М на ось совпадает с М1.
Пусть АВ — произвольный вектор (АВ 0). Обозначим через А1 и b 1проекции на ось l соответственно начала А и конца В вектора АВ и рассмотрим вектор А1В1
Проекцией вектора АВ на ось l называет ся положительное число |A 1B 1 | , если вектор А 1В 1 и ось l одинаково направлены и отрица тельное число — |A 1B 1 | , если вектор А 1В1 и ось l противоположно направлены (см. рис. 8). Если точки a1и b 1совпадают (А 1В 1 =0), то проекция вектора АВ равна 0.
Проекция вектора АВ на ось l обозначается так: прlАВ. Если АВ=0 или АВl , то прl АВ=0.
Угол между вектором а и осью l (или угол между двумя векторами) изображен на рисунке 9. Очевидно,
Рассмотрим некоторые основные свойства проекций.
Свойство 1. Проекция вектора a на ось l равна произведению модуля вектора a на косинус угла между вектором и осью, т. е. прla =|a |•cos .
Следствие 5.1. Проекция вектора на ось положительна (отрицательна), если вектор образует с осью острый (тупой) угол, и равна нулю, если этот угол — прямой.
Следствие 5.2. Проекции равных векторов на одну и ту же ось равны между собой.
Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.
Скалярное произведение векторов , обозначается символом (порядок записи сомножителей безразличен, то есть ).
Если угол между векторами , обозначить через , то их скалярное произведение можно выразить формулой
(1)
Скалярное произведение векторов , можно выразить также формулой
, или .
Из формулы (1) следует, что , если - острый угол, , если - тупой угол; в том и только в том случае, когда векторы и перпендикулярны (в частности, , если или ).
Скалярное произведение называется скалярным квадратом вектора и обозначается символом . Из формулы (1) следует, что скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля:
.
Если векторы и заданы своими координатами:
, ,
то их скалярное произведение может быть вычислено по формуле
.
Отсюда следует необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов
.
Угол между векторами
, ,
дается формулой , или в координатах
.
Проекция произвольного вектора на какую-нибудь ось u определяется формулой
,
где - единичный вектор, направленный по оси u. Если даны углы , , , которые оси u составляет с координатными осями, то и для вычисления вектора может служить формула
.
Свойства векторного произведения: если , то равен площади параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторах и .
Два вектора называют ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.