- •Программа к экзамену по алгебре и геометрии
- •2. Декартова система координат. Простейшие задачи аналитической геометрии: деление отрезка в данном отношении и координаты центра масс.
- •3. Полярные координаты, цилиндрические и сферические координаты.
- •4. Проекция вектора на ось. Свойства проекции. Скалярное произведение. Выражение через проекцию. Свойства скалярного произведения. Условие ортогональности векторов.
- •5. Левые и правые тройки векторов. Векторное произведение. Свойства.
- •6. Смешанное произведение. Свойства. Условие компланарности векторов.
- •7. Выражение скалярного, векторного и смешанного произведения в декартовой системе координат. Некоторые приложения к вычислениям объемов и площадей.
- •8. Преобразование координат на плоскости (поворот и параллельный перенос).
- •9. Уравнения линий и поверхностей. Алгебраические линии и поверхности. Теорема об инвариантности порядка. Параметрическое задание линий и поверхностей.
- •11. Уравнения прямой на плоскости – общее, в отрезках, каноническое, нормальное. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой.
- •12. Уравнения прямой в пространстве. Канонические, параметрические, как пересечение двух плоскостей. Вычисление расстояния от точки до прямой, расстояния между скрещивающимися прямыми.
- •15. Свойства определителей. Минор, алгебраическое дополнение. Теорема о разложении определителя по элементам ряда.
- •18. Линейные пространства. Примеры. Линейная зависимость и независимость векторов линейного пространства. Базис. Размерность.
5. Левые и правые тройки векторов. Векторное произведение. Свойства.
Векторным произведением вектора на вектор называется вектор, обозначаемый символом и определяемый следующими тремя условиями:
1). Модуль вектора равен , где - угол между векторами и ;
2). Вектор перпендикулярен к каждому из вектора и ;
3). Направление вектора соответствует «правилу правой руки». Это означает, что если векторы , и приведены к общему началу, то вектор должен быть направлен так, как направлен средний палец правой руки, больой палец которой направлен по первому сомножителю (то есть по вектору ), а указательный - по второму (то есть по вектору ).
Векторное произведение зависит от порядка сомножителей, именно:
.
Модуль векторного произведения равен площади S параллелограмма, построенного на векторах и :
.
Само векторное произведение может быть выражено формулой
,
где - орт векторного произведения.
Векторное произведение обращается в нуль тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарны. В частности, .
Если система координатных осей правая и векторы и заданы в этой системе своими координатами:
, ,
то векторное произведение вектора на вектор определяется формулой
,
или
.
Алгебраические свойства векторного произведения
Представление |
Описание |
|
свойство антикоммутативности |
|
свойство ассоциативности относительно умножения на скаляр |
|
свойство дистрибутивности по сложению |
|
тождество Якоби, выполняется в и нарушается в |
|
|
|
формула «БАЦ минус ЦАБ», тождество Лагранжа |
|
Это частный случай мультипликативности нормы кватернионов |
|
значение этого выражения называют смешанным произведением векторов a, b, c и обозначают либо |
6. Смешанное произведение. Свойства. Условие компланарности векторов.
Сме́шанное произведе́ние векторов — скалярное произведение вектора на векторное произведение векторов и :
.
Иногда его называют тройным скалярным произведением векторов, по всей видимости из-за того, что результатом является скаляр (точнее — псевдоскаляр).
Геометрический смысл: Модуль смешанного произведения численно равен объёму параллелепипеда, образованного векторами .
Смешанное произведение кососимметрично по отношению ко всем своим аргументам:
т. е. перестановка любых двух сомножителей меняет знак произведения. Отсюда следует, что
Смешанное произведение в правой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю матрицы, составленной из векторов и :
Смешанное произведение в левой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю матрицы, составленной из векторов и , взятому со знаком "минус":
В частности,
Если три вектора линейно зависимы (т. е. компланарны, лежат в одной плоскости), то их смешанное произведение равно нулю.
Геометрический смысл — Смешанное произведение по абсолютному значению равно объёму параллелепипеда (см. рисунок), образованного векторами и ; знак зависит от того, является ли эта тройка векторов правой или левой.
Смешанное произведение компланарных векторов .