10. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении. Площадь треугольника.
Пусть М₁(х₁) и М₂(х₂) две точки координатной оси. Тогда: расстояние между двумя точками М₁(х₁) и М₂(х₂) на координатной оси
d=
Пусть М₁(х₁;у₁) и М₂(х₂;у₂) на плоскости. Тогда расстояние ρ между двумя точками М₁(х₁;у₁) и М₂(х₂;у₂):
ρ(М₁М₂)=d=
,
где
х₂-х₁=Пр
.
Если
точка М(х;у) делит направленный отрезок
в отношении λ=
,
где λ≠-1, то
х=
; у=
.
В частности, при делении пополам, т.е. в отношении λ=1,
х=
;
у=
.
Площадь S треугольника с вершинами М₁(х₁;у₁), М₂(х₂;у₂), М₃(х₃;у₃) равна:
S=
Где
=a₁b₂-b₁a₂.
11. Линии первого порядка на плоскости.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом
у=kx+b, где k равен тангенсу угла α наклона прямой к оси О𝑥 (𝑘=𝑡𝑔α) и называется угловым коэффициентом, b-величина отрезка, отсекаемого прямой на оси О𝑦.
Уравнение прямой, проходящей через точки 𝑁₁(х₁;у₁) с данным угловым коэффициентом,
у-у₁=𝑘(х-х₁).
Если параметр 𝑘принимает различные значения, то уравнение называется уравнением пучка прямых, проходящих через точку 𝑁₁(х₁;у₁).
Уравнение прямой, проходящей через две данные точки 𝑁₁(х₁;у₁) и 𝑁₂(х₂;у₂):
=
Общее уравнение прямой
А𝑥+В𝑦+С=0, где А, В, С – постоянные коэффициенты, причем А²+В²≠0, т.е. А и В не равны нулю одновременно.
Частные случаи этого уравнения:
– Ах + By = 0 (C=0) – прямая проходит через начало координат;
– Ах + С = 0 (В=0) – прямая параллельна оси Оу;
– Ву + С = 0 (А=0) – прямая параллельна оси Ох;
– Ах = 0 – прямая совпадает с осью Оу;
– Ву = 0 – прямая совпадает с осью Ох.
12. Параллельность и перпендикулярность прямых.
Если
прямые заданы уравнениями с угловыми
коэффициентами
и
то
для того, чтобы прямые были параллельны,
необходимо и достаточно, чтобы
перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы
если
прямые заданы общими уравнениями
и
то
для того, чтобы прямые были параллельны,
необходимо и достаточно, чтобы
перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы
13. Расстояние от точки до прямой.
Расстояние
d от точки M0(x0,y0,z0)до прямой Аx+By+C=0
вычисляется по формуле:
Нормальное
уравнение прямой 𝑥
+𝑦
-
=0,
где p
- длина перпендикуляра (нормали),
опущенного из начала координат на
прямую, а
- угол наклона этого перпендикуляра к
оси Ox. Чтобы привести общее уравнение
прямой Ax + By + C = 0 к нормальному виду,
нужно все члены его умножить на
нормирующий множитель его умножить на
нормирующий множитель
N=
;
взятый со знаком, противоположным знаку
свободного члена C.
Правило. Чтобы определить расстояние точки A(x1, y1) до прямой Ax + By + C = 0, нужно привести уравнение прямой к нормальному виду, взять левую часть полученного уравнения и подставить в нее вместо текущих координат координаты данной точки. Абсолютная величина полученного числа и даст искомое расстояние
=
Расстояние от точки до прямой есть всегда величина положительная.