- •Основные сведения о матрицах. Операции над матрицами.
- •2.Определитель n-го порядка и их свойства.
- •Определители любого порядка. Свойства определителей.
- •6.Решение системы n линейных уравнений с n неизвестными методом обратных матриц.
- •7. Система m линейных уравнений с n неизвестными. Метод Гаусса.
- •9. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики (балансовый анализ).
- •10. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении. Площадь треугольника.
- •11. Линии первого порядка на плоскости.
- •12. Параллельность и перпендикулярность прямых.
- •13. Расстояние от точки до прямой.
- •14.Вектор. N-мерное векторное пространство. Линейные операции над векторами.
- •15. Линейная зависимость и независимость векторов. Базис. Разложение вектора по базису.
- •16. Предел функций в точке. Арифметические операций над пределами.
- •Первый замечательный предел
- •Второй замечательный предел
- •18. Бесконечно малые и бесконечно большие функций. Свойства.
- •Свойства бесконечно малых
- •19. Сравнение бесконечно малых.
- •22. Разрывы первого и второго рода.
- •23. Задача о производительности труда. Определение производной. Зависимость между непрерывностью и дифференцируемостью функции.
- •Понятие производной
- •24.Основные правила дифференцирования. Производные элементарных функций. Правила дифференцирования
- •25.Производные обратной и сложной функций.
- •26. Производные и дифференциалы высших порядков.
- •27.Понятие дифференциала функции. Применение дифференциала в приближенных вычислениях.
- •28.Основные теоремы дифференциального исчисления: Ферма, Ролля, Лагранжа.
- •29.Раскрытие неопределенностей.
- •30.Экстремумы функций. Необходимые и достаточные условие экстремума.
- •31.Наибольшее и наименьшее значение функций.
- •32.Выпуклость, вогнутость и точки перегиба кривой.
- •33.Асимптота графика функций. Общая схема исследования и построение графика функций.
- •34.Первообразная функций и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла.
- •41.Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
- •42.Однородные линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
- •43.Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Использование дифференциальных уравнении в экономике.
- •44. Определение функции двух переменных. Линии и поверхности уровня функции двух переменных.
- •45. Частные производные. Полное производное и полный дифференциал.
- •46. Производная по направлению. Градиент функции.
- •47. Экстремум функции многих переменных (необходимое и достаточное условия).
- •48. Наибольшее и наименьшее значения функции.
- •49. Метод Лагранжа.
- •50. Классическое и статистическое определение вероятности.
- •51. Элементы комбинаторики.
- •52. Теоремы сложения и умножения вероятностей.
- •53. Условная вероятность. Теорема сложения вероятностей для совместных событий.
- •54. Формула полной вероятности. Формула Бейеса.
- •55. Формула Бернулли. Формула Пуассона.
- •56. Понятие случайной величины. Закон распределения дискретных случайных величин.
- •57. Числовые характеристики дискретных случайных величин.
- •58. Биноминальный закон распределения.
- •59. Непрерывная случайная величина. Закон распределения вероятностей и основные числовые характеристики.
- •60. Функция плотности вероятностей.
- •61. Нормальное распределение.
- •62. Неравенство и теорема Чебышева. Закон больших чисел.
- •63. Задача математической статистики. Выборочный метод. Статистические оценки параметров распределения.
- •64. Несмещенные, эффективные и состоятельные оценки.
- •65. Интервальная оценка.
- •66. Корреляционный анализ. Линейная регрессия. Коэффициент корреляции.
22. Разрывы первого и второго рода.
Точка является точкой разрыва первого рода, если существуют конечные пределы и , т.е. выполняется второе условие непрерывности и не выполняются остальные условия или хотя бы одно из них.
Точка является точкой разрыва второго рода, если один из пределов и равен бесконечности ( )
23. Задача о производительности труда. Определение производной. Зависимость между непрерывностью и дифференцируемостью функции.
В выполнением (индивидуально или совместно) определённого объёма работы, используют формулу:
A=Wt,
где А -количество всей работы, намеченной к выполнению (по смыслу задачи часто А принимают за единицу), t -время выполнения всего количества работы, W - В сборнике Сканави об этом написано так: "При решении задач, связанных с производительность труда, т.е. количество работы, выполняемой за единицу времени."
Если весь объём работы, принятый за единицу, выполняется одним субъектом за t1, а вторым -за t2 единиц времени, то производительность труда при их совместном выполнении того же объёма работы равна:
Как это применить на практике? Предлагаю рассмотреть на примерах решения задач.
Пример 1. Одна бригада может убрать поле за 12 дней. Другой бригаде для выполнения той же работы нужно 75% этого времени. После того как в течение 5 дней работала только первая бригада, к ней присоединилась вторая, и обе вместе закончили работу. Сколько дней работали бригады вместе?
Решение:t1=12 дней.Так как t2 равно 75% от времени работы первого, то: t2=0,75*12=9 дней.
Производительность первой бригады равна:
Если первая бригада работала 5 дней, то она выполнила объём работы:
Осталось выполнить:
Когда подключилась вторая бригада, производительность стала:
Пусть время их совместной работы равно х. Тогда получаем формулу для оставшейся части работы: Решаем полученное уравнение:
Значит, вместе бригады работали 3 дня.
Понятие производной
Рассмотрим задачу, которая приводит к понятию производной. Пусть функция u(t) выражает количество произведенной продукции за время t. Найдем производительность труда в момент t0. За период от t0 до t0+Δ t количество продукции изменится от u(t0) до u0+Δ u = u(t0+Δ t). Тогда средняя производительность труда за этот период z = Δ u/Δ t, поэтому производительность труда в момент t0
z = lim t 0 u/ t.
Определение 1 (производная). Производной функции y = f(x) в фиксированной точке x называется предел
lim x 0 y/ x
при условии существования этого предела.
Производная обозначается следующим образом f'(x) или y'.
Определение 2. Правой (левой) производной называется правый (левый) предел
lim x 0 + 0 y/ x lim x 0 - 0 y/ x ,
если эти пределы существуют.
Для обозначения правой (левой) производной используют символ: f'(x+0) f'(x-0). Необходимым и достаточным условием существования производной является равенство f'(x+0) = f'(x-0).
Геометрический смысл производной
Рассмотрим график функции y = f(x), определенной и непрерывной на (a,b). Зафиксируем произвольную точку x на (a,b), и зададим приращение x 0, причем x+ x (a,b). Пусть точки M,P - точки на графике f(x), абсциссы которых равны x, x+ x (рис.21). Координаты точек M и P имеют вид M(x,f(x)), P(x+ x,f(x+ x). Прямую, проходящую через точки M, P графика функции f(x) будем называть секущей. Обозначим угол наклона секущей MP к оси ОX через ( x). Определение 3. Если существует предельное положение секущей MP при стремлении точки N к точке M вдоль графика функции при x 0), то это предельное положение называется касательной к графику функции f(x) в данной точке M этого графика.
Из данного определения следует, что для существования касательной к графику f(x) в точке M достаточно, чтобы существовал предел lim x 0 ( x) = 0, который равен углу, образованному касательной с положительным направлением оси OX. Справедливо утверждение:
Предложение 1. Если f(x) имеет в данной точке x производную, то существует касательная к графику функции f(x) в точке M( x,f(x)) , причем угловой коэффициент этой касательной равен производной f'(x).
Из этого утверждения вытекает геометрический смысл производной: производная f'(x0) есть угловой коэффициент касательной, проведенной к кривой y = f(x) в точке x0, который в свою очередь равен tg угла наклона касательной к графику функции.
Тогда уравнение касательной к кривой f(x) в точке x0 имеет вид
y = f(x0)+f'(x0)(x-x0)
Определение 4 (дифференцируемость в точке). Функция f(x) называется дифференцируемой в точке x, если приращение y этой функции в точке x представимо в виде
y =A x + ( x) x, (1) |
где A - некоторое число, не зависящее от x, а lim x 0 ( x ) = 0.
В дальнейшем будем считать, что α(0) = 0. В этом случае функция Δ(x) будет непрерывной в точке Δ x = 0. Равенство 1 можно переписать иначе, так как функции Δ (Δ x), Δ x - бесконечно малые в точке Δ x = 0 и их произведение тоже бесконечно малая функция, поэтому
y =A x +o( x). |
(2) |
Справедлива теорема
Теорема 1. Для того чтобы функция была дифференцируема в точке x, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.
Доказательство. Необходимость. Пусть функция дифференцируема, тогда ее приращение представимо в виде (1). Поделив (1) на Δ xΔ 0 получим
y/ x = A+( x).
Переходя к пределу в последнем выражении при Δ x→ 0, получим, что A=f'(x).
Достаточность. Пусть существует конечная производная f'(x), то есть существует конечный предел
lim x 0 y/ x = f'(x).
Обозначим α(Δ x) = Δ y/ Δ x-f'(x). Отсюда вытекает представление (1).
Теорема 2 (дифференцируемость и непрерывность). Если функция дифференцируема в точке x, то она непрерывна в этой точке.
Доказательство. Так как функция дифференцируема в точке x, то то ее приращение представимо в виде (1), из которого следует, что lim x 0 y = 0, что означает непрерывность функции в данной точке.
Заметим, что из непрерывности в данной точке не следует дифференцируемость в этой точке. Это видно из рассмотренного выше примера 4.
Производная непрерывной функции не обязательно непрерывна. Если функция имеет непрерывную производную на некотором множестве X, то функция называется гладкой на этом множестве. Если производная допускает конечное число точек разрыва (причем первого рода), то такая функция называется кусочно гладкой.