30.Экстремумы функций. Необходимые и достаточные условие экстремума.
Если функция f(x) дифференцируема на интервале (a;b) и f'(x)>0 (f'(x)<0), то f(x) возрастает (убывает) на этом промежутке. Точка х0 называется точкой максимума функции f(x), если существует такая окрестность точки х0, что для всех х, не равных х0 из этой окрестности, выполняется неравенство f(x) < f(х0), где х0 - точка максимума. Значение функции в точке максимума (минимума) называется максимумом (минимумом) функции. Максимум (минимум) функции называется экстремумом.
Необходимое условие экстремума: если дифференцируемая функция f(x) имеет экстремум в точке х0, то ее производная в этой точке равна 0.
Достаточное условие экстремума: если производная меняет знак на минус, то х0 - точка максимума; если с минуса на плюс, то точка х0 - точка минимума.
31.Наибольшее и наименьшее значение функций.
Значение, принимаемое функцией в некоторой точке множества, на котором эта функция задана, называется наибольшим (наименьшим) на этом множестве, если ни в какой другой точке множества функция не имеет большего (меньшего) значения. Н. и н. з. ф. по сравнению с её значениями во всех достаточно близких точках называются экстремумами (соответственно максимумами и минимумами) функции. Н. и н. з. ф., заданной на отрезке, могут достигаться либо в точках, где производная равна нулю, либо в точках, где она не существует, либо на концах отрезка. Непрерывная функция, заданная на отрезке, обязательно достигает на нём наибольшего и наименьшего значений; если же непрерывную функцию рассматривать на интервале (т. е. отрезке с исключенными концами), то среди её значений на этом интервале может не оказаться наибольшего или наименьшего. Например, функция у = x, заданная на отрезке [0; 1], достигает наибольшего и наименьшего значений соответственно при x = 1 и x = 0 (т. е. на концах отрезка); если же рассматривать эту функцию на интервале (0; 1), то среди её значений на этом интервале нет ни наибольшего, ни наименьшего, так как для каждого x0 всегда найдётся точка этого интервала, лежащая правее (левее) x0, и такая, что значение функции в этой точке будет больше (соответственно меньше), чем в точке x0. Аналогичные утверждения справедливы для функций многих переменных.
32.Выпуклость, вогнутость и точки перегиба кривой.
График функции y=f(x) называется выпуклым на интервале (a; b), если он расположен ниже любой своей касательной на этом интервале. Г На рисунке показана кривая, выпуклая на (a; b) и вогнутая на (b; c). Рассмотрим достаточный признак, позволяющий установить, будет ли график функции в данном интервале выпуклым или вогнутым. Теорема. Пусть y=f(x) дифференцируема на (a; b). Если во всех точках интервала (a; b) вторая производная функции y = f(x) отрицательная, т.е. f ''(x) < 0, то график функции на этом интервале выпуклый, если же f''(x) > 0 – вогнутый. Доказательство.
Предположим для определенности, что
f''(x)
< 0 и докажем, что график функции
будет выпуклым. В Итак,
уравнение кривой имеет вид y
= f(x).
Обозначим
Разность
f(x) – f(x0)
преобразуем по теореме Лагранжа
Таким образом,
К
выражению, стоящему в квадратных
скобках снова применим теорему
Лагранжа:
следовательно,
Таким образом, любая точка кривой лежит ниже касательной к кривой при всех значениях x и x0 (a; b), а это значит, что кривая выпукла. Вторая часть теоремы доказывается аналогично. Точка графика непрерывной функции, отделяющая его выпуклую часть от вогнутой, называется точкой перегиба. Очевидно, что в точке перегиба касательная, если она существует, пересекает кривую, т.к. с одной стороны от этой точки кривая лежит под касательной, а с другой стороны – над нею.
Определим достаточные условия того, что данная точка кривой является точкой перегиба. Т Доказательство. Пусть f ''(x) < 0 при x < x0 и f ''(x) > 0 при x > x0. Тогда при x < x0 кривая выпукла, а при x > x0 – вогнута. Следовательно, точка A, лежащая на кривой, с абсциссой x0 есть точка перегиба. Аналогично можно рассматривать второй случай, когда f ''(x) > 0 при x < x0 и f ''(x) < 0 при x > x0. Таким образом, точки перегиба следует искать только среди таких точек, где вторая производная обращается в нуль или не существует. |
|
рафик
функции y=f(x)
называется вогнутым
на интервале (a;
b), если он
расположен выше любой своей касательной
на этом интервале.
озьмем
на графике функции y
= f(x)
произвольную точку M0
с абсциссой x0
(a;
b)
и проведем через точку M0
касательную. Ее уравнение
.
Мы должны показать, что график функции
на (a; b)
лежит ниже этой касательной, т.е. при
одном и том же значении x
ордината кривой y
= f(x) будет
меньше ордината касательной.
ординату
касательной, соответствующую абсциссе
x.
Тогда
.
Следовательно, разность ординат
кривой и касательной при одном и том
же значении x
будет
.
,
где c
между x
и x0.
.
,
где c1
между c0
и x0.
По условию теоремы f
''(x)
< 0. Определим знак произведения
второго и третьего сомножителей.
(x
– x0)
> 0 и (c
– x0)
> 0. Поэтому
.
еорема.
Пусть кривая определяется уравнением
y = f(x).
Если f
''(x0)
= 0 или f
''(x0)
не существует и при переходе через
значение x
= x0
производная f
''(x)
меняет знак, то точка графика функции
с абсциссой x
= x0
есть точка перегиба.