- •Основные сведения о матрицах. Операции над матрицами.
- •2.Определитель n-го порядка и их свойства.
- •Определители любого порядка. Свойства определителей.
- •6.Решение системы n линейных уравнений с n неизвестными методом обратных матриц.
- •7. Система m линейных уравнений с n неизвестными. Метод Гаусса.
- •9. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики (балансовый анализ).
- •10. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении. Площадь треугольника.
- •11. Линии первого порядка на плоскости.
- •12. Параллельность и перпендикулярность прямых.
- •13. Расстояние от точки до прямой.
- •14.Вектор. N-мерное векторное пространство. Линейные операции над векторами.
- •15. Линейная зависимость и независимость векторов. Базис. Разложение вектора по базису.
- •16. Предел функций в точке. Арифметические операций над пределами.
- •Первый замечательный предел
- •Второй замечательный предел
- •18. Бесконечно малые и бесконечно большие функций. Свойства.
- •Свойства бесконечно малых
- •19. Сравнение бесконечно малых.
- •22. Разрывы первого и второго рода.
- •23. Задача о производительности труда. Определение производной. Зависимость между непрерывностью и дифференцируемостью функции.
- •Понятие производной
- •24.Основные правила дифференцирования. Производные элементарных функций. Правила дифференцирования
- •25.Производные обратной и сложной функций.
- •26. Производные и дифференциалы высших порядков.
- •27.Понятие дифференциала функции. Применение дифференциала в приближенных вычислениях.
- •28.Основные теоремы дифференциального исчисления: Ферма, Ролля, Лагранжа.
- •29.Раскрытие неопределенностей.
- •30.Экстремумы функций. Необходимые и достаточные условие экстремума.
- •31.Наибольшее и наименьшее значение функций.
- •32.Выпуклость, вогнутость и точки перегиба кривой.
- •33.Асимптота графика функций. Общая схема исследования и построение графика функций.
- •34.Первообразная функций и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла.
- •41.Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
- •42.Однородные линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
- •43.Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Использование дифференциальных уравнении в экономике.
- •44. Определение функции двух переменных. Линии и поверхности уровня функции двух переменных.
- •45. Частные производные. Полное производное и полный дифференциал.
- •46. Производная по направлению. Градиент функции.
- •47. Экстремум функции многих переменных (необходимое и достаточное условия).
- •48. Наибольшее и наименьшее значения функции.
- •49. Метод Лагранжа.
- •50. Классическое и статистическое определение вероятности.
- •51. Элементы комбинаторики.
- •52. Теоремы сложения и умножения вероятностей.
- •53. Условная вероятность. Теорема сложения вероятностей для совместных событий.
- •54. Формула полной вероятности. Формула Бейеса.
- •55. Формула Бернулли. Формула Пуассона.
- •56. Понятие случайной величины. Закон распределения дискретных случайных величин.
- •57. Числовые характеристики дискретных случайных величин.
- •58. Биноминальный закон распределения.
- •59. Непрерывная случайная величина. Закон распределения вероятностей и основные числовые характеристики.
- •60. Функция плотности вероятностей.
- •61. Нормальное распределение.
- •62. Неравенство и теорема Чебышева. Закон больших чисел.
- •63. Задача математической статистики. Выборочный метод. Статистические оценки параметров распределения.
- •64. Несмещенные, эффективные и состоятельные оценки.
- •65. Интервальная оценка.
- •66. Корреляционный анализ. Линейная регрессия. Коэффициент корреляции.
9. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики (балансовый анализ).
Межотраслевой баланс в экономике – это метод анализа взаимосвязей между различными секторами экономической системы.
Предположим, что исследуемую экономическую систему можно разделить на несколько отраслей (секторов), производящих определенные товары и услуги (например: сельское хозяйство, промышленность, транспорт, энергетика и т. п.). При производстве товаров и услуг в каждом секторе расходуются ресурсы в виде сырья, рабочей силы, оборудования и др.,
которые производятся как в других секторах хозяйства, так и в данном секторе. Это означает, что каждый сектор экономики выступает в системе межотраслевых связей одновременно производителем и потребителем.
Цель балансового анализа – определить, сколько продукции должен произвести каждый сектор для того, чтобы удовлетворить все потребности экономической системы в его продукции.
Таблицы межотраслевого баланса описывают потоки товаров и услуг между отраслями экономики в течение фиксированного промежутка времени, например в течение года.
Обозначим через B = {bi,j}, где I = 1, …, n, j = 1, …, n, матрицу, элемент которой bi,j – это количество товаров и услуг i-ой отрасли экономики А = {аi,j}, потребляемое в j-ой отрасли. В замкнутой экономической системе баланс между совокупным выпуском и затратами каждой отрасли можно описать равенствами:
n n
∑ b = ∑ b i,k , где k = 1, …, n. Матрица В называется
k, j матрицей межотраслевого
j=1 i =1 баланса, или матрицей Леонтьева.
Рассмотрим открытую систему межотраслевых связей, в которой вся произведенная продукция (совокупный продукт) разделяется на две части: одна часть продукции (промежуточный продукт) идет на потребление в производящих секторах, а другая часть (конечный продукт) потребляется вне сферы материального производства – в секторе конечного спроса.
Обозначим:
xj – объем выпуска i-й отрасли;
bi,j – объем продукции i-ой отрасли, потребляемой в j-ой отрасли;
ci – конечный продукт, т. е. объем потребления продукции i-ой отрасли в непроизводственной сфере;
b i, j
a i, j = – количество продукции i-ой отрасли, которое
xj расходуется на производство одной единицы продукции j-ой отрасли. Числа ai,j называются коэффициентами прямых затрат j-ой отрасли и характеризуют технологию этой отрасли.
Межотраслевой баланс – это равенство объема выпуска каждой производящей отрасли суммарному объему ее продукции, потребляемой производственными отраслями и отраслью конечного спроса, т. е.
n n n
x i = ∑ b i, j + c i или x = ∑ a i, jVj + c i или x − ∑ a i, j V j = c i , i = 1… n.
i i
j=1 j=1 j=1
Последние равенства описывают технологию производства и структуру экономических связей и означают, что в отрасль конечного спроса поступает та часть произведенной продукции, которая осталась после того, как обеспечены потребности производящих отраслей.
Для дальнейшего рассмотрения модели Леонтьева сделаем два важных предположения:
1.Сложившуюся технологию производства считаем неизменной, таким образом матрица А = {аi,j} постоянна.
2.Для выпуска j-ой отраслью продукции объема хj надо ресурсов в количестве x i ∑ a i, j . Это требование означает, что каждая отрасль способна произвести любой объем своей продукции, при условии, i что ей будут обеспечены ресурсы в необходимом количестве. На самом деле это не так, ибо производственные возможности каждой отрасли ограничены имеющимся объемом трудовых ресурсов и основных фондов. Пусть Х = {xi} – вектор объемов производства в отраслях, тогда А.Х– потребляемые объемы продукции этих отраслей, таким образом, вне производственной сферы – на потребление остается только Х – А.Х. Назовем экономику высокоэффективной, если А.Х ≤ С, т. е. в производственной сфере тратится меньше, чем в сфере потребления.