- •§ 1. Пространство и его подмножества
- •§ 2. Функция n переменных, ее предел и непрервность
- •§ 3. Частные производные и дифференциал функции n, n2,
- •Обозначают введенную этим определением частную производную символами fх′(m0) или fх′(x0,y0) , а также
- •§ 4. Неявные функции.
- •§ 5. Свободный экстремум функции нескольких переменных
- •Пусть , а - любое, удовлетворяющее условиям . Взяв , удовлетворяющее указанным условиям, выберем для этого число такое, что и обозначим: . Имеем: , причём ;
- •§ 6. Условный экстремум
- •6. 3. Метод Лагранжа
- •В силу инвариантности формы первого дифференциала имеем:
- •Литература
- •§ 1. Пространство и его подмножества
- •Пространство …………………………. 3
- •§ 2. Функция n переменных, её предел и непрерывность
- •§ 3. Частные производные и дифференциалы
- •§ 4. Неявные функции
- •§ 5. Свободный экстремум функции нескольких переменных
- •§ 6. Условный экстремум
Пусть , а - любое, удовлетворяющее условиям . Взяв , удовлетворяющее указанным условиям, выберем для этого число такое, что и обозначим: . Имеем: , причём ;
, причём . Итак, при всяком δ , можно указать h1 и h2 такие, что ||h1|| < δ, ||h2|| < δ, а соответствующие приращения и отличны от нуля и имеют противоположные знаки; значит (см. Ш) х0 не является точкой экстремума функции f. ◄
Запишем матрицу квадратичной формы :
C =
Пусть Δ1, Δ2, … ,Δn - последовательные угловые миноры этой матрицы:
Δ1= , Δ2 = , … , Δn =det C.
Следствие. Пусть точка х0 и функция f удовлетворяют условиям тео- ремы 2. Тогда : 1) если Δk > 0, k =1,2,…,n, то х0 есть точка строгого миниму- ма функции f ; 2) если все угловые миноры отличны от нуля, а их знаки че- редуются, причём Δ1 < 0, то х0 есть точка строгого максимума функции f.
Справедливость этих утверждений непосредственно вытекает из теоре- мы 2 и критерия Сильвестра ([4], стр. 21).
Замечание. Если угловые миноры матрицы С не удовлетворяют требо- ваниям критерия Сильвестра, форма либо квазизнакоопределенная, ли- бо знакопеременная. В первом случае стационарная точка х0 может оказать- ся точкой экстремума, но может ею и не быть. Исследование стационарной точки в этом случае проводится с привлечением дифференциалов более вы- соких порядков.
Рассмотрим отдельно случай функции f(x,y) двух переменных. Запишем такой функции:
Запишем матрицу этой квадратичной формы от двух переменных h1 и h2 и её угловые миноры:
С = ,
Δ1 = , Δ2 =.
Теорема 3. Пусть функция f (х,у) дважды дифференцируема в окрест- ности точки М0(х0,у0), которая является стационарной точкой этой функции. Тогда:
-
если Δ2 => 0, то М0 есть точка строгого экс- тремума функции f, а именно, строгого минимума в случае > 0 и строгого максимума в случае < 0;
-
если Δ2 =< 0, то М0 не является точкой экстремума функции f.
► Утверждения 1) вытекают непосредственно из следствия теоремы 2. Докажем утверждение 2).
Пусть < 0. Может представиться один из сле- дующих трёх случаев:
*) ≠0, **) =0, но ≠0, ***)==0.
Покажем что в каждом из этих случаев является знакопеременной формой
*) Нетрудно проверить справедливость при любых h1 и h2 равенства
=
Положив здесь сначала а затем получим:
,
{}. По условию выражение в фигурных скобках отрицательно; значит, в точках и форма принимает значения противополож- ных знаков, т.е. это знакопеременная форма .
**) Из=0 и < 0 следует . Положив в
= сначала а затем получим:
, . Отсюда ясно, что - знакопеременная форма.
***) Имеем , причем . Легко видеть, что это знакопеременная форма.
Итак, если< 0, то представляет собой знакопеременную форму. В силу утверждения 3) теоремы 2 М0 не является точкой экстремума функции f. ◄
Пример 3. Для каждой из функций f1(x,y) = , и точка О(0,0) является стационарной, причем для f1 и f2 в этой точке Δ2 > 0 , а для f4 в этой точке Δ2 < 0. Значит, точка О(0,0) является точкой экстремума для f1 и f2 , и не является точкой экстре- мума для f4 . Для функции f1 имеем:; следовательно, О(0,0) есть точка строгого минимума этой функции f1. Для функции f2 :; значит, f2 имеет в О(0,0) строгий максимум (рис.1).
Замечание 7. В случае Δ2 ==0 точка М0 может оказаться точкой экстремума, но может и не быть ею.
Пример 4. Пусть . Для каждой из этих функ- ций точка О(0,0) является стационарной, причем Δ2 = 0. Ясно, что наимень- шее значение f5 равно нулю, и оно достигается во всех точках, лежащих на прямой х+у=0 ; таким образом, для этой функции О(0,0) есть точка миниму- ма (нестрогого). Что касается f6 , то f6(0,0) = 0, причем в любой окрестности начала координат имеются как точки, в которых значения этой функции по- ложительны, так и точки, в которых её значения отрицательны; следователь- но, О(0,0) не является точкой экстремума функции f6 .