§ 1. Пространство и его подмножества

1.1. Пространство .

Пусть n – натуральное число, а х - упорядоченный набор из n вещест- венных чисел: х= ( x₁, x₂, … ,x_n) . Набор х назовем n–мерным вектором, а числа, в него входящие, – координатами этого вектора. Введем операции сложения векторов, умножения вектора на вещественное число и скалярного умножения векторов: если х = ( x₁, x₂, … ,x_n) и у = ( у₁, у₂, … ,у_n) - два век- тора, x + y - их сумма, x - произведение числа на вектор x, а (x,y) – скалярное произведение x на y, то

x + y ( x₁+ у_1, x₂+ у₂, … , x_n+ у_n) ;

x (x₁, x₂, … , x_n) ; (1)

(x,y)x₁ у₁+ x₂ у₂+…+ x_nу_n.

Обозначим через совокупность всевозможных n–мерных векторов, на которой введены описанные выше операции. представляет собой одну из реализаций n–мерного эвклидова пространства. Числа x₁, x₂ , …, x_n , обра- зующие набор х - это координаты элемента x пространства относительно ортонормированного базиса этого пространства; в качестве базиса обычно выступает так называемый стандартный базис – система {e}, где e- век- тор, все координаты которого равны нулю, за исключением к -той координа -ты, равной единице.

Определим норму элемента x= ( x₁, x₂, … ,x_n):

||x|| .

Свойства нормы известны из курса линейной алгебры.

1. ||x||≥0 ; (||x||=0) ( x= 0 (0,0, … ,0) ) ;

2. ||x|| = ||x|| ;

3. |(x,y)|||x || ||y || (неравенство Коши-Буняковского);

4. ||x +y|| ≤||x|| + ||y|| ( неравенство треугольника ).

В формулировках определений и теорем дифференциального исчисле- ния функций нескольких переменных элементы пространства нередко на- зывают не векторами, а точками пространства . Делается это из соображе- ний удобства речи, а также для того, чтобы в этих формулировках отчетливее выступали имеющиеся аналогии с понятиями и теоремами дифференциаль - ного исчисления функций одной переменной.

Пусть х₁ = (, x, … ,x) и х₂ = (, x, … ,x) – два элемента пространства . Будем говорить, что точка х₁ является началом вектора х₂ - х₁ = (-,x- x, … , x- x) , а точка х₂ - его концом ; норму этого вектора назовем расстоянием между точками х₁ и х₂ и обозначим через ρ(х₁, х₂) : ρ(х₁, х₂) ||х₂ - х₁||= . Из свойств нормы cледует:

1) ρ(х₁, х₂) ≥ 0 ; ( ρ(х₁, х₂) = 0) (х₁ =х₂) ;

2 ) ρ(х₁ , х ₂) = ρ(х₂, х₁) ;

3 ) ρ(х₁, х₂) ≤ ρ(х₁, х₃) + ρ(х₃, х₂).

Пусть х₀ – некоторая точка пространства , а ε – некоторое положи- тельное число. Множество точек х, расстояние от которых до х₀ меньше ε, назовем ε- окрестностью точки х₀ и обозначим через U(ε) :

U(ε) {x│ ρ(х_0, х) < ε }

Иногда, называя элемент пространства точкой, мы будем обозна- чать его большой буквой латинского алфавита, записывая, например, P (х₁, х₂, …, х_n), что следует читать: точка P с координатами х₁,х₂, …, х_n . Смысл символов ρ(P_1, P₂) и U(ε), употребляемых в таких случаях, понятен ввиду изложенного выше. “Точечная“ терминология бывает удобной, в частно- сти, при геометрической интерпретации понятий и теорем в пространствах , и .

Э лемент x= (х) пространства представляет собой “набор“, содер- жащий только одно число х. Такой элемент удобно представлять точкой чис- ловой оси с координатой х; тогда вся числовая ось будет служить интерпре- тацией пространства . В этой интерпретации норма элемента x= (х) есть модуль числа х, расстояние между точками x₁= (х₁) и x₂= (х₂) есть модуль разности их координат: ρ(х₁, х₂) = |x₂-x₁|; ε – окрестность точки x₀ =(х₀) - это интервал ( х₀ - ε, х₀ + ε).

Упорядоченную пару (х,у) ( упорядоченную тройку (x,y,z)) веществен- ных чисел можно расматривать как декартовы координаты точки, лежащей на плоскости (находящейся в пространстве). Это позволяет интерпретировать пространство c помощью координатной плоскости ХОY , а пространство представлять совокупностью точек трехмерного пространства, в котором введена декартова система координат. В этой интерпретации норма элемента х есть расстояние от точки М, представляющей этот элемент, до начала ко- ординат, ε – окрестность точки М₀ есть круг ( соответственно, шар ) радиуса ε с центром точке М_0.

Удобна и другая, векторная интерпретация пространств , и . Про- странство можно представить совокупностью V₁ геометрических векторов (направленных отрезков), параллельных некоторой оси L. В этом случае элемент x= (х) представлен вектором, проекция которого на ось L равна чис- лу х, норма этого элемента есть |x|, т.е. длина вектора.

Упорядоченную пару (х,у) ( упорядоченную тройку (х,у,z)) веществен- ных чисел можно рассматривать как координаты в ортонормированном бази- се i , j (в ортонормированном базисе i , j , k ) геометрического вектора, лежа- щего на плоскости (расположенного в пространстве); операции, введенные равенствами (1) соответствуют действиям над геометрическими векторами в векторной алгебре: сложение векторов, умножение вектора на число, скаляр- ное умножение векторов. Поэтому совокупность V₂ геометрических векто -ров, параллельных некоторой плоскости, можно рассматривать в качестве интерпретации пространства , а совокупность V₃ геометрических векто- ров, расположенных в пространстве, - в качестве интерпретации пространст- ва . В этих интерпретациях норма элемента есть длина геометрического вектора, представляющего этот элемент.

2. Предел последовательности элементов пространства .

Пусть{x_k} - последовательность точек пространства , а x₀ – некоторая точка этого пространства.

Определение 1. x₀ назовем пределом последовательности {x_k}, если ρ(х_k, х₀) → 0, т.е. если

ρ(х_k, х₀) < ε )

Если последовательность {x_k} и точка x₀ удовлетворяют требованиям этого определения, будем записывать lim x_k = x₀ или x_k→ x₀ и будем го- ворить, что последовательность {x_k} сходится к. x₀ .

Из определения 1 видно, что при всяком >0 в -окрестности U(ε) содержится бесконечное множество членов последовательности {x_k} , схо- дящейся к. x₀ ( именно, все те ее члены, номера которых превышают ), а вне U(ε) может находиться разве лишь конечное количество ее членов. Напомним, что такой же фразой можно характеризовать и поведение число- вой последовательности {x_k}, сходящейся к числу х₀ ( [2], п. 3.2), так что предел числовой последовательности и предел последовательности элемен- тов - понятия аналогичные . Аналогичны и формулировки их основных свойств. Можно сказать, что теоремы о сходящихся числовых последова- тельностях ( [2], п.п. 3.3, 3.4) справедливы и для последовательностей в , за исключением тех из них, которых касаются неравенств – для элементов отношения ″больше″ или ″меньше″ не определены.

Пусть задана последовательность {x_k}, x_k = ( ) . Рассмот- рим последовательности, образованные первыми координатами векторов x_k , их вторыми координатами и т.д. , их n -ными координатами:

{x} , {x} , … , {x}

Теорема 1. ( О покоординатной сходимости) Пусть задана последо- вательность {x_k}, x_k = ( ) и точка x₀ = ( ) . Для то- го, чтобы последовательность {x_k} сходилась к x₀ , необходимо и достато- чно, чтобы последовательность {x} сходилась к х₁₀ , {x} сходилась к х₂₀ и т.д., последовательность {x} сходилась к x_n0 :

(x_k→ x₀ ) (x _ik→ x _i0 , i = 1,2,…,n )

► В силу определения 1 x_k→ x₀ означает ρ(х_k, х₀) → 0 , т. е. , что, очевидно, имеет место тогда и только тогда, когда каждая из скобок в подкоренном выражении стремит- ся к нулю, т.е. при i = 1,2, …, n . ◄

Теорема 2. (О единственности предела) Сходящаяся последователь- ность имеет только один предел.

► Допустим, что x_k→ x₀ и x_k→ у₀ , где x₀ = ( ), у₀ = (у₁₀, у). В силу теоремы 1 x_1k→ x₁₀ и x_1k→ у₁₀. Но для числовых последовательностей справедлива теорема о единственности предела ( [2], п. 3.2), поэтому х₁₀ = у₁₀. Аналогично докажем, что и другие координаты точки у₀ совпадают с соответствующими координатами точки x₀ . Значит, x₀ = у₀ . ◄

Теорема 3. ( О действиях над сходящимися последовательностями)

Пусть x_k→ x₀ и у_k→ у₀ . Тогда 1) x_k + y_k → x₀ + y₀ , 2) λ x_k → λ x₀ (здесь λ – любое число) , 3) (x_k, у_k) → (x₀ , у₀) .

► Пусть x_k = ( х_1k,x_2k, …, x_nk) , y_k = ( y_1k,y_2k, …, y_nk) , x₀ = ( х₁₀,x₂₀, …, x_n0), y₀ = (y₁₀,y₂₀, …, y_n0). 1) Имеем: x_k+y_k = ( x_1k+y_1k, x_2k+y_2k, …, x_nk +y_nk), x₀ + y₀ = ( x₁₀+y₁₀, x₂₀+y₂₀, … , x_n0+y_n0) . По теореме 1 из x_k→ x₀ и у_k→ у₀ следует x_ik → x_i0 и у_ik → у_i0 при i = 1,2,…,n ; значит, по теореме об ариф- метических действиях со сходящимися числовыми последовательностями ( [2], п. 3.3) x_ik+y_ik → x_i0+y_i0 при i = 1,2,…,n . Снова обращаясь к теореме 1, отсюда получаем : x_k + y_k → x₀ + y₀ . Доказательства утверждений 2) и 3) аналогичны. ◄

Определение 2. Последовательность {α_k} называют бесконечно малой последовательностью, если ее предел равен нулевому вектору 0(0,0,… …,0).

Справедливы утверждения : 1) если {α_k} и {β_k} - бесконечно малые последовательности , то { α_k+ β_k} и {λα_k} , где λ – любое вещественное число, также бесконечно малые последовательности; 2) (α_k→ 0) ( ||α_k||→ 0 ); З) пусть {x_k}- некоторая последовательность, а x₀ - некоторая точка: тогда ( x_k→ x₀ ) ( x_k- x₀ → 0 ).

Упражнение. Доказать утверждения 1) – 3).

1.3. Множества в .

Пусть Х - некоторое множество точек пространства , а х₀ – некото- рая точка этого пространства.

Определение 1. х₀ назовем внутренней точкой множества Х, если существует ε-окрестность U(ε), целиком содержащаяся в Х.

Определение 2. х₀ назовем граничной точкой множества Х, если в любой ε-окрестности U(ε) содержатся хотя бы одна точка множества Х и хотя бы одна точка, Х не принадлежащая.

x₁. x₂ Замечание. Внутренняя точка множества Х принадле-

жит Х. Граничная точка множества Х может принадле-

жать, но может и не принадлежать Х.

Рис.1 На рис.1 плоская фигура представляет множество Х , лежащее в ; х₁ – внутренняя точка Х, а х₂ – его граничная точка.

Определение 3. х₀ называют предельной точкой множества Х, если всякая ε-окрестность U(ε) содержит хотя бы одну точку множества Х, отличную от х₀ .

Определение 4. х₀ называют изолированной точкой множества Х, ес- ли существует ε-окрестность U(ε) такая, что х₀ является единственной точ- кой этой окрестности, принадлежащей Х.

Замечание. Предельная точка множества Х может принадлежать, но может и не принадлежать Х. Изолированная точка множества Х принадле-жит Х.

Пример 1. Пусть Х есть множество точек М(х,у) , координаты кото- рых удовлетворяют уравнению . Очевидно, Х состоит из начала координат О(0,0) и точек окружности радиуса единица с центром в О. Точки окружности – предельные точки множества Х, О – его изолирован- ная точка.

Упражнение. Доказать следующие утверждения. 1) Всякая принадлежащая множеству Х точка является либо его внутрен- ней, либо его граничной точкой. 2) Всякая принадлежащая множеству Х точка является либо его предель- ной, либо его изолированной точкой . 3) х₀ является предельной точкой множества Х тогда и только тогда, когда существует сходящаяся к х₀ последовательность, все члены которой принад- лежат Х и отличны от х₀ . 4) Внутренняя точка множества является его предельной точкой. 5) Изолированная точка множества является его граничной точкой. 6) Граничная точка множества является либо его предельной, либо его изолированной точкой.

Определение 5. Х называют открытым множеством, если каждая его точка является внутренней точкой этого множества.

Определение 6. Х называют замкнутым множеством, если ему при- надлежат все его предельные точки.

Замечание. Множество, содержащее все свои граничные точки, явля- ется замкнутым. Множество, не содержащее ни одной из своих граничных точек, является открытым.

Пример 2. Пусть Х₁ = { M(x,y)| } , X₂ = { M(x,y)| }, X₃ = {M(x,y)| }. Здесь Х₁ – открытое множество, так как не содержит граничных точек ( точек единичной окружности). X₂ – замкнутое множество, так как содержит все свои граничные точки. Множество X₃ не является ни открытым, ни замкнутым, ибо часть его граничных точек ему принадлежит (точки верхней половины единичной окружности), а другая их часть (точки интервала (-1,1) оси абсцисс) Х₃ не принадлежит.

Определение 7. Совокупность всех внутренних точек множества Х называют внутренностью множества Х и обозначают через . Совокуп- ность всех граничных точек множества Х называют его границей и обо -значают через .

Определение 8. Х называют ограниченным множеством, если существует М > 0 такое, что норма любого элемента Х не превышает М. Множество, не являющееся ограниченным, называют неограниченным.

1.4. Линии в .

Напомним основные понятия, касающиеся непрерывных плоских кри- вых ( [1], § 17). Пусть функции х(t) и у(t) определены на некотором проме- жутке .Обозначим через Р_t точку плоскости с абсциссой х(t) и ординатой у(t) , а через γ – упорядоченную совокупность {Р_t} этих точек, где t пробегает, возрастая весь промежуток . Упорядоченность γ означает, что при любых t₁ и t₂ , t₁< t₂ , принадлежащих , точка Р_t считается пред- шествующей точке Р_t. Прибегая к геометрической интерпретации, можно сказать, что γ – это траектория, которую описывает на плоскости точка Р_t при возрастании t от α до β. γ называют непрерывной плоской кривой, а систему - параметрическими уравнениями кривой γ. γ есть годог- раф вектор-функции r(t) = x(t) i + y(t) j ; параметрические уравнения γ мож- но записать в векторной форме : r = r(t) , , где r = xi + + yj . Если промежуток представляет собой сегмент, то точку А = Р называют началом кривой γ, а точку В=Р- ее концом; говорят также, что непрерывная кривая γ соединяет точки А и В.

Пусть Р₀(х₀,у₀) – заданная точка, а s = s₁i + s₂j - заданный вектор. Система есть параметрические уравнения прямой, проходящей через точку Р₀ параллельно вектору s .

Опишем аналогичные понятия в пространстве любой размерности n≥2. Пусть функции x_i(t), i = 1,2,…,n, непрерывны на промежутке , . Обозначим через Р_t точку с координатами (x₁(t), x₂(t), …, x_n(t)), а через γ – упорядоченную совокупность { Р_t} этих точек, где t пробегает, возрастая, промежуток . Упорядоченность γ понимается так же, как выше. γ назовем непрерывной кривой в , а систему

(1)

- параметрическими уравнениями γ. Введя обозначения r = ( x₁,x₂, …,x_n) , r(t) = (x₁(t), x₂(t), …, x_n(t)) , систему (1) можно записать в векторной форме: r = r(t), . В дальнейшем запись γ = { r = r(t), } следу- ет читать так: γ - непрерывная кривая, заданная уравнениями (1) или r =r(t), .

Пусть Р₀( x₁₀,x₂₀, …,x_n0) - заданная точка, а s = (s₁,s₂, …,s_n) – заданный вектор. Линию, заданную в уравнениями

называют прямой линией ; она проходит через точку Р₀ и параллельна век-тору s .

Если промежуток есть сегмент, А = Р, В = Р, то точку А будем называть началом кривой γ, заданной уравнениями (1), а точку В – концом этой кривой. Будем также говорить, что непрерывная кривая γ сое- диняет точки А и В.

Определение 1. Множество назовем связным множеством, если любые две его точки можно соединить непрерывной кривой, все точки которой принадлежат Х.

Определение 2. Областью будем называть любое связное открытое множество .