§ 2. Функция n переменных, ее предел и непрервность

1. Функция n переменных и ее график

Пусть n – некоторое натуральное число, а - некоторое множество. Пусть сформулировано правило f , в силу которого каждому элементу х поставлено в соответствие единственное вещественное число u. Тогда гово- рят, что на множестве Х определена функция f . Говорят также, что на Х опре- делена функция f (х) или функция u = f(x). В этих символах вместо вектора х могут быть записаны его координаты х₁,х₂,…,х_n : f (х₁,х₂,…,х_n) . Тогда f на- зывают функцией от n переменных (аргументов) х₁,х₂,…,х_n. Множество Х называют областью определения (задания) функции; число u называют зна- чением функции в точке х и обозначают через f (х).

Одним из средств наглядного представления функции является ее график. Графиком функции f, заданной на множестве , называют мно- жество G,

G = { (x₁,x₂, …,x_n,x_n+1) | x = (x₁,x₂, …,x_n), x_n+1= f (х) }

График функции, определенной на множестве, лежащем в n - мерном пространстве, т.е. функции n переменных, расположен в пространстве, раз- мерность которого на единицу выше. При n =1 введенные выше понятия уже знакомы читателю. Это функция одной переиенной f (x) , определенная на не- котором множестве Х вещественных чисел и ее график G = { (x,y)| xX, y= f (x)}, который представляет собой плоскую линию с уравнением у = f (x) (рис. 2_а)). При n = 2 область определения Х функции f представлена на рис.2_б) фигурой, лежащей в плоскости ХОY . Аргументы функции обозначим

f (x,y) z=f(x,y) f(x) = f(x)

y=f(x)

х х х у

Х M(x,y) Х х

х E

а) б) в)

Рис. 2

через х и у – это координаты точки М (х,у) Х . График

функции f (х,у) представлен на рис. 2_б поверхностью, уравнение которой z = = f (x,y). При n = 3 область определения Х функции f можно изобразить на чертеже в виде некоторого геометрического тела . Аргументы функции обыч- но обозначают через х,у и z – это координаты точки, принадлежащей Х. График функции f (x,y,z) лежит в четы- рехмерном пространстве, и потому не может быть изображен на чертеже. Конечно, это относится и к графикам функций бóльшего, чем 3, количества переменных. Тем не менее при n ≥3 полезным бывает чертеж 2_в) , на котором горизонтальная координатная плоскость условно представляет пространство , множество определения Х функции f представлено фигурой, лежащей в этой плоскости, а график G функции f по аналогии со случаем n = 2 пред- ставлен этом чертеже поверхностью, уравнение которой x_n+1= f(x₁,x₂,…,x_n).

2.2. Предел функции

Пусть функция f определена на множестве , а точка х₀ является предельной точкой этого множества. Напомним, что х₀ может принадлежать, но может и не принадлежать Х, так что f не обязательно определена в точке х₀ . Пусть А – вещественное число.

Определение 1. Вещественное число называют пределом функции f при х, стремящемся к х₀ по множеству Х, если для любой последовательно- сти {x_k} элементов множества Х , все члены которой отличны от х₀ , и кото- рая сходится к х₀ , соответствующая последовательность {f (x_k)} значений функции сходится к А.

Если А является пределом функции f при х, стремящемся к х₀ по мно- жеству Х, будем записывать А = или f (x). Таким образом, ра- венство А= означает:

{x_k} ( N x_k X, x_k х₀) ( x_k→ x₀) f (x_k)→ A

Пример 1. Пусть Этим равенством f определена на всей плоскости ХОY , за исключением точек оси абсцисс, так что здесь Х= ={Р(x,y)| y≠ 0). Очевидно, что всякая точка оси абсцисс является предель- ной точкой для множества Х. Покажем, что 1) А=0 является пределом функ- ции f, когда точка Р(х,у) стремится к началу координат О(0,0) по множеству Х и 2) функция f не имеет предела, когда точка Р(х,у) стремится по множе- ству Х к любой точке на оси абсцисс, отличной от начала координат О .

1) Пусть {Р_k (x_k,y_k)} , где kN y_k ≠ 0, - последовательность точек, сходящаяся к началу координат О. Заметим: kN (Р_k X) (Р_k→O). В силу теоремы о покоординатной сходимости х_k→ 0 и y_k→ 0. Имеем: . Последовательность { х_k} – бесконечно малая, а последо- вательность {}, очевидно, ограничена; по теореме о произведении бес- конечно малой последовательности на ограниченную ([2], п.3.4) получаем : . Так как {Р_k (x_k,y_k)} – произвольная последовательность, удов- летворяющая требованиям kN Р_kХ и Р_k → О, указанным в определении 1, то утверждение 1) доказано.

2) Пусть Р₀ – некоторая точка оси абсцисс, отличная от начала коорди- нат, т.е., Р₀(х₀ ,0), где х₀ ≠ 0. Рассмотрим последовательности { (x_k,)} и { (x_k,)}, где { х_k} – некоторая числовая последовательность, сходящаяся к х₀ . Очевидно, каждая из последовательностей {_k } и {} сходится к Р₀ и удовлетворяет требованиям, указанным в определении 1, при чем соответствующие им последовательности значений функции имеют раз- личные пределы: f() = х_k sin kπ → 0 ; f() = х_k sin(4k+1) → х₀ ≠ 0. Этого достаточно для вывода: число А, удовлетворяющее определению 1, не существует.

Определение 1 высказано на языке последовательностей. Сформулируем эквивалентное определение на языке ″ε–δ″.

Пусть функция f определена на множестве , а точка х₀ является пре дельной точкой этого множества.

Определение 2. Вещественное число А называют пределом функции f при х, стремящемся к х₀ по множеству Х, если для любого положительного ε существует δ > 0 такое, что для всякого х, принадлежащего Х и удовлетворя- ющего условиям 0<ρ(х, х₀) < δ, справедливо неравенство | f(х) – A | < ε .

Таким образом, равенство А=, где А – число, означает:

х( 0< ρ(х, х₀) < δ | f(х) – A | < ε )

Определения 1 и 2 аналогичны определениям предела функции одной переменной; доказательство эквивалентности определений 1 и 2 проводится аналогично одномерному случаю ([1], п. 20.2). Аналогичны одномерному случаю формулировки и доказательства теорем об основных свойствах пре- делов: о единственности предела, о стабилизации знака неравенства, о пре -дельном переходе в неравенстве, о ″сжатой″ функции, об арифметических действиях с пределами, о разности между функцией и числом ([2],п.п. 4.5, 4.6). В качестве примера приведем формулировку и доказательство теоремы о стабилизации знака неравенства.

Теорема. Пусть А= и пусть р > A (p < A). Тогда существует положительное δ_р такое, что при всяком х, принадлежащем Х и удовлетво- ряющем условию 0< ρ(х, х₀) < δ_р, справедливо неравенство р > f(х) (f(х) < <p).

► Доказательство проведем для случая р > A. Обозначим: ε = р-А . В силу определения 2 существует δ > 0 такое,что при всяком х , которое при – надлежит Х и удовлетворяет неравенствам 0< ρ(х, х₀) < δ справедливо | f(х)- – A | < ε , т.е. – ε < f(х)- А < ε . Отсюда для указанных х получаем: f(х) < ε +А = р . Таким образом, δ_р существует: можно положить δ_р = δ .◄

В определении 2 А – вещественное число. Для А , равного +∞, - ∞ или ∞ , в определении 2 нужно лишь заменить неравенство | f(х) – A | < ε на f(х) > >ε , f(х) < - ε или | f(х)| > ε соответственно. Функции, удовлетворяющие та- ким условиям называют бесконечно большими при х, стремящемся к х₀ по множеству Х.

Рассматриваемые ниже функции чаще всего определены в окрестности или в проколотой окрестности точки х₀. Окрестностью точки х₀ мы на- зываем любое открытое множество, содержащее х₀. Обозначать такое множе- ство будем символом . Проколотой окрестностью точки х₀ назовем вся -кую ее окрестность, из которой удалена сама точка х₀; обозначать это множе- ство будем символом : = { х | х х₀} . Заметим, что функция, определенная в окрестности , определена в точке х₀ ; если же функция определена в проколотой окрестности ,то в точке х₀ она может быть определена, но может быть и нет.

Точка х₀ = является предельной для множеств и . Если функция f определена на одном из этих множеств, то ее предел при х, стремящемся к х₀ по или по называют пределом функции f в точке х₀ и обозначают через или через .

2.3. Непрерывность функции в точке

Пусть функция f определена на множестве , а х₀ принадлежит Х и является предельной точкой этого множества.

Определение 1. Будем говорить, что функция f непрерывна в точке х₀ по множеству Х, если = f(х₀) , т.е. если (на языке последовательностей)

{x_k} ( N x_k X) ( x_k→ x₀) f (x_k)→ f(х₀)

или (на языке ″ε–δ″)

х( ρ(х, х₀) < δ | f(х) – f(х₀) | < ε )

Замечание. В отличие от определений 1 и 2 предыдущего пункта, в при- веденной выше записи на языке последовательностей отсутствует трeбование x_k ≠ x₀ , а в записи на языке ″ε–δ″ снято требование ρ(х, х₀) > 0. Тем самым членам последовательности {x_k} и точке х разрешено принимать значение x₀ . Снятые требования здесь излишни, поскольку функция определена в x₀ , а ее значение f(х₀) является и ее пределом.

Определение 2. Будем говорить, что функция f непрерывна в точке х₀ , если она определена в некоторой окрестности и если = f(х₀).

Пример 1. . Этим равенством функция определена в замкнутом единичном круге Х = . Она непрерывна в каж -дой внутренней точке этого круга. Действительно, пусть Р₀(х₀,у₀) – внутрен- няя точка,т.е. . Найдется d > 0 такое, что d – окрестность со- держится в Х ( d < 1- ) . Пусть последовательность {Р_k(x_k,y_k)} тако- ва, что 1) N Р_k и 2) Р_k → Р₀. Тогда x_k → x₀ и y_k → y₀ ; поэтому

f (Р_k) =.

Так как {Р_k(x_k,y_k)} – произвольная последовательность, удовлетворяю- щая требованиям 1) и2), то доказано равенство = f(Р₀), т.е. доказана непрерывность f в любой внутренней точке круга Х. Что касается его гра- ничных точек, т.е. точек единичной окружности, то в каждой из них функция непрерывна по множеству Х. Доказательство этого аналогично приведенному выше.

Пусть функция f определена на некотором множестве Х , а точка х₀ принадлежит Х. Пусть h = (h₁,h₂, …,h_n) – вектор такой, что х₀+ h . Раз- ность f (х₀+ h) - f(х₀) = f (х₁₀+ h₁, x₂₀ +h₂,…,x_n0+h_n) - f(х₁₀, x₂₀ ,…,x_n0) назовем приращением функции f в точке х₀. Обозначать эту величину будем символами Δ f и Δ( h); второй из них будем употреблять тогда, когда желательно подчеркнуть, что приращение функции само является функцией n переменных h₁,h₂, …,h_n. Eсли f определена в некоторой окрестности , то ее приращение Δ( h) есть функция, определенная в некоторой окрест- ности точки 0=(0,0, ....,0), причём Δ( 0) = 0.

Теорема 1. (О приращении непрерывной функции) Пусть функция определена в окрестности точки х₀ ,х₀. Для того, чтобы функция была непрерывной в точке х₀, необходимо и достаточно, чтобы ее прираще- ние Δ( h) стремилось к нулю при h→ 0.

► Δ( h) = f (х₀+ h) - f(х₀) = f (х) - f(х₀) , где х = х₀+ h . Заметим: (х → х₀) (h→ 0). По теореме о разности между функцией и числом (f (х) f(х₀)) (f (х) - f(х₀) 0). Таким образом, f непрерывна в х₀ ( т.е.f (х) f(х₀)) тогда и только тогда, когда Δ( h) 0, а это равносильно Δ( h) 0. ◄

Приведенная теорема и ее доказательство аналогичны формулировке и доказательству теоремы о приращении непрерывной функции одной пере - менной. Это же можно сказать и о следующих двух теоремах.

Теорема 2. ( О стабилизации знака непрерывной функции). Пусть функ- ция f непрерывна в точке х₀. Если f(х₀) ≠ 0, то существует δ > 0 такое, что при всяком х ( δ) справедливо f (х) · f(х₀) > 0.

Теорема 3. (Об арифметических действиях с непрерывными функциями)

Пусть функции f и g непрерывны в точке х₀. Тогда их сумма f + g и произведение f · g непрерывны в х₀ . Если g(х₀) ≠ 0, то и их частное есть непрерывная в точке х₀ функция.

Пусть n функций φ₁(t), φ₂(t), …, φ_n(t) определены на множестве Т (n и m – некоторые натуральные числа). Обозначим: х_t = (φ₁(t), φ₂(t), …, φ_n(t)), X = { х_t| tT }. Ясно, что Х . Пусть на Х определена функция f. Зададим на множестве Т функцию F : tT F(t) = f(х_t) = f(φ₁(t), φ₂(t), …, φ_n(t) ). Функцию F называют композицией или суперпозицией функций f и φ₁,φ₂,…, φ_n; F называют также сложной функцией.

Теорема 4. ( О непрерывности сложной функции) Пусть функции φ₁(t), φ₂(t), …, φ_n(t) непрерывны в точке t₀, а функция f непрерывна в точке x₀ =(x₁₀,x₂₀, …,x_n0), где x_i0 = φ_i(t₀), i = 1,2,…,n. Тогда сложная функция F(t) = = f(φ₁(t), φ₂(t), …, φ_n(t) ) непрерывна в точке t₀ .

► Нужно доказать два утверждения: 1) функция F определена в неко- торой окрестности точки t₀ и 2) t) =F(t₀).

1) По условию f непрерывна в точке x₀ . Это означает, в частности, что она определена в некоторой окрестности этой точки; поэтому можно подобрать ε >0 так, чтобы f была определена в ( ε ). При каждом i = 1,2,…,n функция φ _i непрерывна в t₀ , значит, для каждого i найдется δ _i > 0 такое, что t( δ _i ) выполняется | φ _i (t )- x _{i 0}| < . Обозначим через δ наи- меньшее из δ₁, δ₂,…., δ_n. Если t( δ) ,то справедливо каждое из неравенств | φ _i (t )- x _{i 0}| < , i = 1,2,…,n; поэтому || х_t - x₀|| = = =ε. Таким образом, при всех t( δ) точка х_t содержится в ( ε ); поэтому F(t) = f(х_t) определена в ( δ).

2) Пусть {t_k} – некоторая последовательность такая, что а) kN t_k( δ) и б) t_k → t₀. Обозначим: x_{k =} ( φ₁(t_k), φ₂ (t_k),…, φ_n(t_k)). Функции φ_i непрерывны в точке t₀, поэтому φ_i(t_k) → φ_i(t₀) = x_i0 , i = 1,2,…,n. Значит, x_k→ х₀ и так как f непрерывна в точке х₀ , то f(x_k) → f (x₀). Рассмотирим последо- вательность F(t_k ). Имеем:

F(t_k ) = f(φ₁(t _k), φ₂(t _k), …, φ_n(t _k)) = f(x_k) → f (x₀) = F(t₀ ).

Так как {t_k} - произвольная последовательность, удовлетворяющая условиям а) и б), то равенство t) =F(t₀) доказано. ◄

2.4. Непрерывность функции на множестве

Определение 1. Будем говорить, что функция f непрерывна на множе- стве Х , если она определена на этом множестве и непрерывна по множеству Х в каждой предельной точке, принадлежащей Х.

Пример. Функция непрерывна на замкнутом множе- стве Х = - этот факт был установлен в примере 1, п. 2.3.

Справедливы теоремы, аналогичные теоремам Вейерштрасса о функци- ях одной переменной ( [2],п. 5.3).

Теорема 1. (Первая теорема Вейерштрасса ) Если функция f непре –рывна на замкнутом ограниченном множестве Х, то она ограничена на этом множестве, т.е. существуют числа А и В , А < В, такие, что при всех хХ А ≤ f(х) ≤ В.

Теорема 2 ( Вторая теорема Вейерштрасса ) Функция f, непрерывная на замкнутом ограниченном множестве Х, достигает на этом множестве своих точных граней, т.е. в Х существуют точки х и хтакие, что f(х) и f(х) являются соответственно точной нижней и точной верхней гранями функции f на множестве Х.

Доказательства этих теорем можно найти в [1].

Теорема 3. ( Теорема Коши о промежуточном значении) Пусть функ- ция f непрерывна в области Х, х₁ и х₂ – две точки, принадлежащие Х , А = f(х₁), В = f(х₂). Если А ≠ В, то для любого числа С , заключенного между А и В в области Х существует точка ξ_С такая, что f(ξ_С) = С.

► Пусть γ – непрерывнвя кривая, содержащаяся в Х и соединяющая х₁ и х₂ ( так как Х – область, такая γ существует, см. определение 1, п. 1.4), а

- параметрические уравнения этой кривой, причем х₁ =( х₁(α), х₂(α ),…, х_n(α )) , х₂ = ( х₁(β), х₂(β ),…, х_n(β )). На [α , β] зададим функцию F (t) = f( х₁(t), х₂(t ), …, х_n(t )). Эта функция непрерывна на [α , β], так как является суперпозицией непрерывных функций, причем F (α) = f (х₁) =А, F (β) = f (х₂) =В. Пусть С заключено между А и В. По теореме Коши о промежуточном значении функции одной переменной ( [2],п. 5.3) на (α , β ) найдется τ такое, что F (τ ) = С. Положим ξ_С = ( х₁(τ), х₂(τ),…, х_n(τ)) . Тогда f(ξ_С) = F(τ) = С. ◄

Определение 2. Будем говорить, что функция f равномерно непрерывна на множестве Х, если для любого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для любых двух элементов х′ и х″ множества Х, удовлетворяющих условию || х′ - х″|| < δ, справедливо неравенство | f (х′) - f (х″) | < ε :

х′ х″ (|| х′ - х″|| < δ | f (х′) - f (х″) | < ε).

Нетрудно показать, что если функция равномерно непрерывна на множестве, то она и непрерывна на нем. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно: из непрерывности функции на множестве не вытекает ее равномерная непрерывность. Вместе с тем, справедлива теорема Кантора : если функция непрерывна на замкнутом ограниченном множестве, то она и равномерно непрерывна на нем. Доказательство см. [1].