§ 5. Свободный экстремум функции нескольких переменных

5.1. Основные определения.

Пусть Х - открытое множество в пространстве , х₀ = () - - точка, принадлежащая Х, f (x) = f (x₁,x₂ , …, x_n) – функция, определённая на множестве Х.

Определение 1. х₀ назовём точкой минимума (точкой максимума) фун- кции f , если можно указать δ >0 такoe, что при всяком х, принадлежащем δ- -окрестности ( δ), справедливо неравенство f (x) ≥ f (x₀) (f (x) ≤ f (x₀) ).

Определение 2. х₀ назовём точкой строгого минимума ( точкой строгого максимума) функции f, если если можно указать δ >0 такoe, что при всяком х, принадлежащем проколотой δ-окрестности ( δ), справедливо строгое неравенство f (x) > f (x₀) (f (x) < f (x₀) ).

Точки максимума и минимума функции называют точками её экстре- мума; точки строгого максимума и строгого минимума – точками строгого экстремума функции.

Пример 1. Начало координат, точка О (0,0) является для каждой из функций двух переменных f₁(x,y) = , точкой строгого экстремума: для первой и третьей функций точ- кой строгого минимума, а для второй - точкой строгого максимума. Графики этих функций (параболоид, полусфера, конус) изображены на рис. 1₁₎,1₂₎и 1₃₎.

Ниже мы рассматриваем следующую задачу: пусть функция f опреде- лена на некотором открытом множестве Х ; требуется выяснить, имеет ли f на этом множестве точки экстремума; в случае наличия таких точек классифицировать их ( максимум или минимум).

5.2. Необходимые условия экстремума.

Решение поставленной выше задачи начинают с отыскания точек, в которых выполнены необходимые условия экстремума.

Теорема 1. Пусть х₀ = ( ) является точкой экстремума функции f (x) = f (x₁,x₂ , …, x_n). Если f дифференцируема в х₀ , то в точке х₀ все частные производные первого порядка функции f равны нулю.

► Функция f дифференцируема в х₀ , значит (см. [3], стр.18), в точке х₀ существуют частные производные по всем аргументам функции f. Докажем равенство нулю частной производной по аргументу х₁ :. По опреде- лению ( [3], стр.18) = (), где f (t, ). Функция f оп- ределена в окрестности х₀ и имеет в этой точке экстремум; поэтому функ- ция определена в окрестности точки , т.е. на некотором интервале чис- ловой оси, содержащем число , причем является точкой экстремума функции . В силу теоремы Ферма ([2], стр. 19 ) () = 0, т.е., . Аналогично докажем равенство нулю частных производных и по другим аргументам. ◄

Следствие. Пусть функция f (x) дифференцируема в точке х₀ . Если хотя бы одна из частных производных отлична от нуля, х₀ заведомо не является точкой экстремума,.

Опрееделение 3. Точку х₀ назовём стационарной точкой функции f , если f дифференцируема в х₀ , а все её частные производные первого порядка в этой точке f равны нулю.

Замечание . Пусть функция f (x) = f (x₁,x₂ , …, x_n) дифференцируема в точке х₀, х₀ = ( ). Точка х₀ является стационарной точкой функ- ции f тогда и только тогда, когда первый дифференциал тождествен- но равен нулю (т.е. для любого).

►Пусть х₀ является стационарной точкой, т.е. ,; тогда при всяком имеем: С другой сто- роны, пусть при всяком . Положим . Для этого вектора имеем: . Положив получим: . Аналогично докажем равенство нулю частных производных и по другим аргументам функции. ◄

Пусть функция f (x) определена на некотором открытом множестве Х, Х . Точку х₀ назовем точкой, подозрительной на экстремум функции f , если либо 1) х₀ является стационарной точкой этой функции, либо 2) f не- дифференцируема в х₀ . Из теоремы 1. вытекает, что только в таких точках функция может иметь экстремум. Но не всегда подозрительная на экстремум точка оказывается точкой экстремума на самом деле.

Пример 2. Легко проверить, что для функции начало координат О (0,0) есть её стационарная точка. Однако, точкой экстремума она не является: , а в любой окрестности точки О(0,0) имеются как точки, в которых значения функции положительны, так и точки, где функ- ция принимает отрицательные значения; это становится достаточно очевид- ным при взгляде на график функции – гиперболический параболоид (рис. 1₄₎).

5.3. Достаточные условия экстремума.

Исследование функции на экстремум начинают с отыскания точек, по- дозрительных на экстремум – только в таких точках функция может иметь экстремум. Является ли подозрительная точка точкой экстремума на самом деле, выясняют с помощью достаточных признаков. Теорема 2 - один из та- ких признаков; им пользуются, исследуя стационарные точки. Предвари- тельно сделаем ряд замечаний.

Согласно определению 1 х₀ является точкой минимума (точкой максимума) функции f , если можно указать δ >0 такое, что при всех х ( δ), справедливо неравенство f (x) - f (x₀) ≥0 (f (x) - f (x₀) ≤0 ) . Поло- жим h = x – x₀; тогда x =x₀ +h и .Заме- тим: () ( ||h|| < δ ). Теперь нетрудно заключить:

I. x₀ является точкой минимума (максимума) функции f тогда и только тогда, когда можно указать δ >0 такое, что при всех h , удовлетворяющих условию ||h|| < δ , справедливо неравенство ≥ 0 (≤ 0).

Из определения 2 аналогично следует:

II. х₀ является точкой строгого минимума (строгого максимума) функ- ции f тогда и только тогда, когда можно указать δ >0 такое, что при всех h , удовлетворяющих условию 0 < ||h|| < δ , справедливо строгое неравенство > 0 (< 0).

Справедливо также утверждение:

III. Если при всяком δ >0 можно указать h₁ и h₂ такие, что ||h₁|| < δ, ||h₂|| < δ, а соответствующие приращения и отличны от нуля и имеют противоположные знаки, то х₀ не является точкой экстремума функции f.

► Действительно, в этом случае нельзя указать δ >0 так, чтобы при всех h, удовлетворяющих требованию ||h|| < δ , соответствующие приращения были бы числами одного знака. В силу утверждения I. х₀ не может быть ни точкой минимума, ни точкой максимума. ◄

Пусть функция f дважды дифференцируема в точке x₀ .Запишем диффе- ренциал второго порядка функции f в точке x₀:

, где h = (h₁,h₂. …,h_n). Это выражение представляет собой квадратичную фор- му от n переменных h₁,h₂,…,h_n. Напомним, что квадратичнная форма может быть либо знакоопределенной, положительно или отрицательно, либо квази- знакоопределенной, либо знакопеременной ([4],стр. 8).

Теорема 2. (Достаточный признак экстремума) Пусть х₀ является стационарной точкой функции f и пусть f дважды дифференцируема в неко- торой окрестности этой точки. Тогда:

1. если - положительно определенная квадратичная форма, то х₀ является точкой строгого минимума функции f ;

2. если - отрицательно определенная квадратичная форма, то х₀ является точкой строгого максимума функции f ;

3. если - знакопеременная квадратичная форма, то х₀ не яв- ляется точкой экстремума функции f .

► Выберем ε >0 такое, чтобы f была дважды дифференцируема в ε –окрестности ( ε). По теореме Тейлора-Пеано (см. [3], стр.32, при m= 2) при всяком х, принадлежащем ( ε), имеем :

(1)

Здесь h= x- x₀ , Заметим: f(x) - f(x₀) = f(x₀+h) - f(x₀) = . Так как х₀ – стационарная точка, то df(h)≡0. Из (1) получим:

+ , (2) где , а h = (h₁,h₂. …,h_n).

Пусть h такое , что 0 < . Обозначим: u=. Заметим: ||u|| = 1, и если u = (u₁,u₂, … ,u_n), то u_k = , k = 1,2, … , n. Из (2) следует:

= + = == = == , (3) где при h → 0.

Обозначим через S единичную сферу в пространстве - совокуп- ность тех элементов пространства , норма которых равна единице: S = . Квадратичная форма - непрерыв- ная функция. По теореме Вейерштрасса ([3 ], стр.15 ) достигает на ог- раниченном замкнутом множестве S своего наименьшего и своего наиболь- шего значений – обозначим их через m и M соответственно. Значит, на S существуют точки h_* и hтакие, что

, M =

Так как u S, справедливы неравенства m ≤ ≤ M, и, следова- тельно (см. (3) ), при всяком h , 0 < , имеем :

||h|| ≤ ≤ ||h|| (4)

1. Пусть - положительно определенная форма, т.е. её значе- ние положительно на любом элементе пространства ,отличном от 0 .

Заметим: m >0, ибо m=, а h_*≠ 0 ( ведь ||h_*|| =1) . Так как при h → 0, можно подобрать δ , 0 < δ < ε, так, что при всяком h таком,что 0 < ||h|| < δ будет выполнено m. Отсюда и из (4) следует: при всех h , 0 < ||h|| < δ, справедливо > 0. Значит (см. II) х₀ явля- ется точкой строгого минимума функции f .

2. Пусть - отрицательно определенная форма, т.е. её значение отрицательно на любом элементе пространства ,отличном от 0 .

Заметим: M < 0, ибо M , а h ≠ 0. Найдётся δ , 0 < δ < ε, такое, что при всех h , удовлетворяющих требованиям 0 < ||h|| < δ справедливо |M|. Из (4) следует, что при тех же h справедливо < 0. Зна- чит (см. II), х₀ является точкой строгого максимума функции f .

3. Пусть - знакопеременная квадратичная форма и пусть h′ = =и h″ =такие, что ( h′)>0, ( h″)<0.

Положим h = t h′, где R . Заметим: h = (h₁,h₂. …,h_n), где h_k = t, k = 1,2, … ,n. При всех R

==. Таким образом, при всех . Кроме того, из (2) следует: = +

= + . Так как при , существует , такое, что при вы- полняется <. Из = теперь сле- дует: при всех , , справедливо .

Положив h = t h″, где R , аналогично получим: при всех :

< 0 .; = . Существует, такое, что при выполняется <|| Из = вытекает: при всех , справед- ливо .