- •1. Источники и виды погрешностей. Абсолютная и относительная погрешности. Вычислительная погрешность и погрешность функции.
- •3. Решение систем линейных алгебраических уравнений. Правило Крамера и обратная матрица. Вычислительная сложность.
- •4. Решение систем линейных уравнений. Метод исключения Гаусса с верхней и нижней треугольной матрицами. Методы прямой и обратной подстановки. Решение линейных систем алгебраических уравнений
- •Метод исключения Гаусса без перестановки строк
- •5. Решение систем линейных уравнений с симметричными и положительно определенными матрицами. Разложение Холесского с внутренним произведением.
- •6. Разложение Холесского с внешним произведением и с поблочным вычислением матриц.
- •Доказательство теоремы Халецкого
- •7. Метод исключения Гаусса и lu-разложение. Понятие эквивалентности систем уравнений, понятие и состав элементарных операций.
- •8. Алгоритм исключения Гаусса без перестановки строк. Lu- и ldv-разложения.
- •9. Алгоритм исключения Гаусса при наличии вырожденных главных подматриц. Алгоритм с перестановкой строк или с выбором главного элемента.
- •10. Свойства и определения матричных и векторных норм. Теорема Коши – Шварца. Число обусловленности системы линейных уравнений. Геометрический смысл числа обусловленности. Матричная норма
- •Геометрический смысл плохо обусловленных и хорошо обусловленных матриц
- •11. Задачи приближения и интерполяции функций и эмпирических данных.
- •13. Формулы численного дифференцирования интерполяционным методом.
- •14. Формулы численного дифференцирования методом неопределенных коэффициентов.
- •15. Наиболее распространенные формулы численного дифференцирования.
- •16. Задачи и методы численного интегрирования. Квадратурные формулы.
- •Элементарные квадратурные формулы, полученные методом интерполяции
- •17. Численное интегрирование интерполяционными методами.
- •18. Численное интегрирование методом неопределенных коэффициентов.
- •Частные случаи
- •19. Квадратурные формулы Ньютона – Котеса.
- •20. Формулы прямоугольника, трапеций и Симпсона.
- •21. Ортогональные и ортонормальные системы функций и многочленов. Скалярное произведение. Ортогонализация произвольной системы линейно независимых функций. Формула Грама – Шмидта.
- •22. Квадратурные формулы Гаусса. Наиболее распространенные формулы.
- •23. Интегрирование быстро осциллирующих функций. Интегрирование функций на больших интервалах изменения аргумента.
- •24. Тригонометрическая интерполяция и дискретное преобразование Фурье.
- •25. Быстрое преобразование Фурье.
- •26. Задача наименьших квадратов. Прямой метод решения.
- •27. Задача наименьших квадратов. Решение методом qr-разложения.
- •28. Алгоритм qr-разложения. Ортогональные матрицы и матрицы плоского вращения.
- •29. Задача численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Задача Коши и граничные задачи.
- •30. Решение задачи Коши с помощью формулы Тейлора.
- •31. Методы Рунге – Кутта. Формулы Эйлера и Адамса.
- •32.Конечно-разностные методы решения задачи Коши.
- •33. Явные формулы Адамса.
- •34. Решение задачи Коши методом неопределенных коэффициентов.
- •35. Решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений методом Эйлера.
- •36. Определение градиента функции нескольких переменных.
- •Метод градиента
- •37. Матрица Якоби системы функций нескольких переменных.
- •38. Решение нелинейных уравнений методом простой итерации.
- •39. Решение нелинейных уравнений методом Ньютона.
- •46. Необходимые и достаточные условия минимума и максимума функции многих переменных. Необходимые и достаточные условия экстремума функции нескольких (двух) переменных
- •47. Форма функции многих переменных в окрестности точки седла.
- •48. Градиентный метод минимизации функции многих переменных.
- •49. Минимизация функции многих переменных методом Ньютона.
- •Применительно к задачам оптимизации
- •50. Формула и множители Лагранжа в задаче оптимизации
- •Описание метода
- •51. Производная по направлению и возможное направление спуска.
- •52. Обратные и некорректные задачи.
Геометрический смысл плохо обусловленных и хорошо обусловленных матриц
Рассмотрим систему уравнений
При плохой обусловленности матрицы эти прямые почти параллельны, поэтому любое небольшое возмущение в правой части сказывается на определении точного решения.
Для хорошо обусловленных систем прямые проходят под большим углом, точность решения – высокая.
11. Задачи приближения и интерполяции функций и эмпирических данных.
Задачей приближения или аппроксимации называется задача построения функции, принимающей в заданных точках заданные значения.
Значения функции в заданных точках могут быть представлены в табличной форме и получаются или из экспериментов, или посредством расчета некоторой сложной функции.
Значения функции задаются в системе точек – узлы интерполяции.
Каждому узлу интерполяции соответствуют значения функции .
Точное значение функции неизвестно, либо ее вычисление сложно.
Задача заключается в нахождении оценки (аппроксимации) интерполирующей функции .
Форма аппроксимирующей функции известна, не известны параметры .
Задача заключается в нахождении этих параметров из условия, что значение аппроксимирующей функции в узлах интерполяции совпадают с известными значениями :
В общем случае – это система нелинейных уравнений относительно .
Для того, чтобы она имела решения необходимо, чтобы число уравнений было равно числу неизвестных .
В качестве аппроксимирующей функции используется линейная комбинация линейно-независимых функций, т.е., как правило, аппроксимирующая функция:
.
Система функций , с помощью которой представляется аппроксимирующая функция, называется базисной функцией (БСФ) или базисом.
В качестве БСФ используются:
1) степенные многочлены: ;
2) тригонометрическая система функций: ;
3) ортогональные между собой многочлены
Задача интерполяции заключается в нахождении значений функции при .
???12. Задача интерполяции алгебраическим многочленом с простыми узлами. Формулы Лагранжа и Ньютона. Разделенные разности.
В качестве интерполяционных многочленов может быть использован многочлен Лагранжа, который может быть записан:
Формула Ньютона:
Однако, применение этих формул при использовании интерполяционных многочленов высокого порядка (чем больше порядок многочлена, тем большую точность можно ожидать) сопряжено с большим объемом предварительных вычислений, а также с тем, что эти методы трудно обобщаются на случай функции нескольких переменных.
Более простое решение задач численного дифференцирования достигается с помощью метода неопределенных коэффициентов.
Короткая форма интерполяционной формулы Ньютона для случая равноудаленных узлов:
Рассмотрим последовательность значений функции в узлах интерполяции, она называется разделенной разностью нулевого порядка.
Разделенные разности первого порядка определяется по формуле:
В общем случае:
Разделенная разность второго порядка.
– это разделенная разность первого порядка
Таблица разделенных разностей
Интерполяционная формула Ньютона с помощью разделенных разностей запишется:
При вычислении многочлена по интерполяционным формулам необходимо учитывать вычислительную сложность алгоритма.
Существуют различные способы вычисления многочлена, которые отличаются по своей вычислительной сложности, т.е. по числу вычислительных операций.