- •1. Источники и виды погрешностей. Абсолютная и относительная погрешности. Вычислительная погрешность и погрешность функции.
- •3. Решение систем линейных алгебраических уравнений. Правило Крамера и обратная матрица. Вычислительная сложность.
- •4. Решение систем линейных уравнений. Метод исключения Гаусса с верхней и нижней треугольной матрицами. Методы прямой и обратной подстановки. Решение линейных систем алгебраических уравнений
- •Метод исключения Гаусса без перестановки строк
- •5. Решение систем линейных уравнений с симметричными и положительно определенными матрицами. Разложение Холесского с внутренним произведением.
- •6. Разложение Холесского с внешним произведением и с поблочным вычислением матриц.
- •Доказательство теоремы Халецкого
- •7. Метод исключения Гаусса и lu-разложение. Понятие эквивалентности систем уравнений, понятие и состав элементарных операций.
- •8. Алгоритм исключения Гаусса без перестановки строк. Lu- и ldv-разложения.
- •9. Алгоритм исключения Гаусса при наличии вырожденных главных подматриц. Алгоритм с перестановкой строк или с выбором главного элемента.
- •10. Свойства и определения матричных и векторных норм. Теорема Коши – Шварца. Число обусловленности системы линейных уравнений. Геометрический смысл числа обусловленности. Матричная норма
- •Геометрический смысл плохо обусловленных и хорошо обусловленных матриц
- •11. Задачи приближения и интерполяции функций и эмпирических данных.
- •13. Формулы численного дифференцирования интерполяционным методом.
- •14. Формулы численного дифференцирования методом неопределенных коэффициентов.
- •15. Наиболее распространенные формулы численного дифференцирования.
- •16. Задачи и методы численного интегрирования. Квадратурные формулы.
- •Элементарные квадратурные формулы, полученные методом интерполяции
- •17. Численное интегрирование интерполяционными методами.
- •18. Численное интегрирование методом неопределенных коэффициентов.
- •Частные случаи
- •19. Квадратурные формулы Ньютона – Котеса.
- •20. Формулы прямоугольника, трапеций и Симпсона.
- •21. Ортогональные и ортонормальные системы функций и многочленов. Скалярное произведение. Ортогонализация произвольной системы линейно независимых функций. Формула Грама – Шмидта.
- •22. Квадратурные формулы Гаусса. Наиболее распространенные формулы.
- •23. Интегрирование быстро осциллирующих функций. Интегрирование функций на больших интервалах изменения аргумента.
- •24. Тригонометрическая интерполяция и дискретное преобразование Фурье.
- •25. Быстрое преобразование Фурье.
- •26. Задача наименьших квадратов. Прямой метод решения.
- •27. Задача наименьших квадратов. Решение методом qr-разложения.
- •28. Алгоритм qr-разложения. Ортогональные матрицы и матрицы плоского вращения.
- •29. Задача численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Задача Коши и граничные задачи.
- •30. Решение задачи Коши с помощью формулы Тейлора.
- •31. Методы Рунге – Кутта. Формулы Эйлера и Адамса.
- •32.Конечно-разностные методы решения задачи Коши.
- •33. Явные формулы Адамса.
- •34. Решение задачи Коши методом неопределенных коэффициентов.
- •35. Решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений методом Эйлера.
- •36. Определение градиента функции нескольких переменных.
- •Метод градиента
- •37. Матрица Якоби системы функций нескольких переменных.
- •38. Решение нелинейных уравнений методом простой итерации.
- •39. Решение нелинейных уравнений методом Ньютона.
- •46. Необходимые и достаточные условия минимума и максимума функции многих переменных. Необходимые и достаточные условия экстремума функции нескольких (двух) переменных
- •47. Форма функции многих переменных в окрестности точки седла.
- •48. Градиентный метод минимизации функции многих переменных.
- •49. Минимизация функции многих переменных методом Ньютона.
- •Применительно к задачам оптимизации
- •50. Формула и множители Лагранжа в задаче оптимизации
- •Описание метода
- •51. Производная по направлению и возможное направление спуска.
- •52. Обратные и некорректные задачи.
21. Ортогональные и ортонормальные системы функций и многочленов. Скалярное произведение. Ортогонализация произвольной системы линейно независимых функций. Формула Грама – Шмидта.
Если – система линейно-независимых функций: , принадлежащих пространству H: , то существует система независимых ортогональных функций: , каждая из которых может быть представлена в виде линейной комбинации линейной системы: .
Условие ортогонализации: .
Доказательство:
оно является конструктивным, т.е. основывается на построении алгоритма нахождения ортогональных функций по исходной системе независимых функций.
Первая функция ортогональной системы.
Пусть
Из условия ортогонализации: ,
На каком-то шаге получим ортогональные функции: , .
Коэффициенты этой линейной комбинации определяются из условия ортогонализации функции всем предшествующим функциям системы.
Система функций по условию ортогональна, значит, , следовательно,
Процедура ортогонализации называется процедурой Грамма-Шмидта.
Все функции выражаются через старую функцию, значит, все функции можно представить в виде линейной комбинации системы функций: .
Если представить исходную и ортогональную системы функций в виде векторов:
, ,
то переходы к ортогональной система в матричном виде: .
Матрица B является нижней унитарной матрицей:
Коэффициенты матрицы A – коэффициенты, полученные в процессе ортогонализации.
При рассмотрении ортогональных многочленов в качестве независимой системы используется система степенных функций:
К ортогональным многочленам относятся многочлены Чебышева первого и второго рода. Ортогональные многочлены легко находятся с помощью рекуррентных формул.
Так многочлены Чебышева первого рода определяются:
Многочлены Чебышева первого рода являются многочленами ортогональными на интервале с весом
Условие ортогонализации:
Многочлены Чебышева второго рода можно найти по рекуррентной формуле:
Многочлены Чебышева второго рода являются ортогональными на интервале с весом .
22. Квадратурные формулы Гаусса. Наиболее распространенные формулы.
Задачи построения квадратурной формулы Гаусса с n узлами заключается в решении задачи оптимизации, в рамках которой, квадратурная формула должна быть точной для любых многочленов в максимально возможной степени.
Неизвестными коэффициентами являются как коэффициенты квадратурной формулы, так и ее узлы.
– коэффициенты квадратурной формулы
Число независимых переменных равно .
Число коэффициентов:
Если квадратурная формула является точной для многочлена степени n, то она является точной и для всех степеней переменной x.
1) Квадратурные Гаусса формулы — формулы вида в которых узлы xk и коэффициенты Ak не зависят от функции f (x) и выбраны так, что формула точна (т. е. Rn = 0) для произвольного многочлена степени 2n - 1. В отличие от квадратурных формул Ньютона — Котеса, узлы в квадратурных Гаусса формулы, вообще говоря, не являются равноотстоящими. Если р (х) ³ 0 и то для любого натурального n имеется единственная квадратурная Гаусса формулы Эти формулы имеют большое практическое значение, т.к. в ряде случаев они дают значительно большую точность, чем квадратурные формулы с тем же числом равноотстоящих узлов. Сам Гаусс исследовал (1816) случай р (х) º 1. 2) Гаусса формулы, выражающая полную кривизну К поверхности через коэффициенты её линейного элемента; в координатах, для которых ds2 = l(du2 + dv2), Гаусса формулы имеет вид Эта формула была опубликована в 1827 и показывает, что полная кривизна не меняется при изгибании поверхности. Она составляет содержание одного из основных предложений созданной Гауссом внутренней геометрии поверхности. 3) Гаусса формулы для сумм Гаусса: Эта формула была использована Гауссом (1801) в одном из доказательств закона взаимности квадратичных вычетов