3.2. Логіко-ймовірнісний метод розрахунку показників надійності

Розрахунок надійності системи, яка складається з елементів що з'єднані за будь-якою логічною схемою, по суті є встановленням істинності сладного логічного висловлювання. Наведемо приклад такого висловлювання: система буде працездатною, якщо працездатним є елемент а і один з наступних елементів: b або d, або обидва елементи разом взяті. Логічна схема, що відповідає цьому висловлюванню, показана на рис.3.4.

Рис.3.4. Логічна схема системи з трьох елементів.

Таке висловлювання — складне і містить прості висловлювання, які зв'язані між собою логічними операціями кон'юнкції і диз'юнкції. Позначивши кон'юнкцію (функція «І») значком «» (деколи позначають символом «»), а диз'юнкцію (функція «АБО») значчком «v» запишемо логічне висловлювання про працездатність системи.

F =а • [bvdv(bd)] (3.12)

Головне при такій формі запису не тільки те, що є змога чаписати умову працезда- тності у вигляді математичної (логічної) формули, а і змога такі формули математично обробляти: з'єднувати іх в більш складні структури, розкладати, перетворювати, оптимізувати, знаходити за ними значення величин, які досліджуються, переходити від формул до логічних схем і навпаки тощо. Таким чином, використання апарату математичної логіки дає змогу формалізувати умову працездатності складних логічних схем і отримати вирази для розрахунку надійності. Для цього на основі складного висловлювання про працездатність системи записується логічна функція працездатності. Таку логічну функцію можна мінімізувати, тобто перетворити її таким чином, щоб вона мала найменшу кількість членів, або щоб у ній не було членів, які повторюються. Для мінімізації функції і для вилучення членів, які повторюються, рекомендується користуватись такими логічними твердженнями:

(3.13)

Особливої уваги заслуговує формула розкладу логічної функції F на складові. Вона використовується тоді, коли решта формул не дають змоги вилучити члени, які повторюються.

Приклад 3.2

Вилучити повторення членів а і с функції працездатності F.

F(abс) v (dс) v (aе).

Розв'язування

Розкладемо логічну функцію F по а, використавши (3.13)

Приведеним логічним функціям поставимо у відповідність такі математичні операції

a v Ь  P(a) + Р(b) -Р(а)Р(b) — (у відповідності з виразом (3.9),

аb  Р(а)Р(b) — (у відповідності з виразом (3.1),

= 1- P(a) — (у відповідності з визначеннями ймовірностей відмов і безвідмовної роботи) і проведемо розрахунок функції працездатності.

Підсумовуючи сказане, можна скласти таку програму дій при використанні логіко-ймовірнісного методу розрахунку.

1. Записати логічну функцію працездатності, для чого необхідно:

— сформувати умову працездатності системи;

— на основі словесного формулювання записати логічну функцію працездатності;

— перетворити (при необхідності) логічну функцію працездатності (мінімізувати, вилучити члени, що повторюються).

2. Замінити логічні функції алгебраїчними, тобто алгебраїзувати логічну функцію працездатності.

3. За отриманою формулою розрахувати ймовірність безвідмовної роботи.