- •2.1. Емпіричні залежності для оцінки надійності
- •2.3. Закони розподілу
- •2 4. Лямбда-характеристика
- •3.1 Логічне послідовне і паралельне з'єднання
- •3.2. Логіко-ймовірнісний метод розрахунку показників надійності
- •3.3. Логічне з'єднання зіркою і трикутником
- •4.1. Загальна характеристика резервованих систем
- •4.2. Розрахунок надійності при пасивному резервуванні
- •4.2.1. Пасивне резервування з постійним навантаженням
- •4.2.2. Пасивне резервування з перерозподілом навантаження
- •4.2.3. Пасивне резервування за навантаженням
- •4.2.4. Пасивне резервування з дробовою кратністю
- •4.2.5. Резервування елементів з двома типами відмов
3.1 Логічне послідовне і паралельне з'єднання
У другому розділі в основному розглядалися теоретичні характеристики надійності окремих елементів, з яких формують системи. Тепер розглянемо розрахунок багатокомпонентних ситем — систем, елементи яких перебувають між собою в різноманітних логічних зв'язках. Одним з найбільш поширених таких логічних зв'язків нерезервованих систем є логічне послідовне з'єднання.
Логічне послідовне з'єднання — це таке з'єднання, коли відмова хоча б одного елемента системи призводить до відмови системи в цілому. У цьому випадку час безвідмовної роботи системи дорівнює мінімальному значенню часу наробки до відмови елементів, з яких складається система.
Логічна схема такого з'єднання показана на рис. 3.1.
рис.3.1.Логічна послідовна схема зєднання n елементів
Якщо позначити ймовірність безвідмовної роботи і-го елемента системи 0 < Рі(t)< 1, то ймовірність P(t) безвідмовної роботи декількох логічно послідовно з'єднаних елементів згідно з теоремою множення дорівнює добутку ймовірностей безвідмовної роботи кожного елемента:
(3.1)
Очевидно, що чим більша кількість елементів, з'єднаних логічно послідовно, тим ймовірність безвідмовної роботи системи буде меншою. Наприклад, система з десяти послідовно з'єднаних однакових елементів, для яких Pj(tj) = 0,99 має ймовірність безвідмовної роботи Pc(tj) ==0,9, а для системи з двадцятьох таких елементів ймовірність безвідмовної роботи буде вже тільки 0,82.
Приклад 3.1.
Яку ймовірність безвідмовної роботи повинні мати елементи в певний момент часу, щоб ймовірність безвідмовної роботи системи, яка складається з шести таких компонентів, в той самий момент часу була не менше ніж 0,95.
Розв'язування
Pс(tj)>0,95.
Оскільки Рc (tj) = Pj (tj)6 , то
Pj(tj) Рc (tj)1/6=0.951/6=0.9915
З урахуванням того, що
(3.2)
для ймовірності безвідмовної роботи при логічному послідовному з'єднанні отримаємо:
(3.3)
(3.4)
З виразу (3.4) напрошується такий висновок:
Інтенсивність відмов декількох логічно послідовно з'єднання елементів (t) дорівнює сумі інтенсивностей відмов всіх елементів.
1(t)+2(t)+...+n(t)= (3.5) З виразу (3.5) випливає, що -характеристика системи, яка складається з послідовно з'єднаних елементів, визначається як сума ординат і(t) характеристик всіх елементів.
Іншою логічною схемою з'єднань є логічно паралельне з'єднання.
Логічне паралельне з'єднання — це таке логічне з'єднай елементів, при якому відмова будь.якого елемента не призводить до відмови всієї системи; система вийде з ладу тільки після відмови всіх елементів. Середній час наробки до відмови системи Тмс в цьому випадку дорівнює максимальному середньому часові наробки відмови Тi max елементів системи.
Рис.3.2. Логічна паралельна схема з'єднання п елементів.
Ймовірність безвідмовної роботи при логічному паралельному з'єднанні будемо визначати виходячи з ймовірностей відмови одного елемента
Qi(t)=1-Pi(t) (3.6) де Pi(t) — ймовірність безвідмов роботи одного елемента.
Тоді ймовірність відмов кількох логічно паралельно з'єднаих елементів Q(t} дорівнює добутку ймовірностей відмов кожнoгo елемента
Q(t)=Q1(t)Q2(t)...Qn(t)= (3.7)
З урахуванням (3.6) і (3.7) запишемо ймовірність безвідмовної роботи системи
(3.8)
Схема логічного Паралельного з'єднання показана на рис.3.2.
Для n = 2 ймовірність безвідмовної роботи системи визначають як ймовірність того, що або перший, або другий елемент працездатний. Цій логічній функції згідно з (3.8) відповідає такий вираз:
P(t)=1-[1-P1(t)][1-P2(t)]= P1(t)+ P2(t)- P1(t)P2(t) (3.9)
Для n=3 ймовірність безвідмовної роботи системи знаходять як ймовірність того, що або перший, або другий, або третій елемент працездатний. Цій логічній функції відповідає такий вираз:
P(t)=1-[1-P1(t)][1-P2(t)][1-P3(t)]= P1(t)+ P2(t)+ P3(t)- P1(t)P2(t)-P2(t)P3(t)- P1(t)P3(t)-
-P1(t)P2(t) P3(t) (3.10)
Аналогічним чином можна записати і для n = 4.
P(t)=l-[l-P1(t)][l-P2(t)][l-P3(t)][l-P3(t)]= P1(t)+ P2(t)+ P3(t)+ P4(t)- P1(t)P2(t)- P2(t)P3(t)-
- P3(t)P4(t)- P1(t)P3(t)- P2(t)P4(t)- P1(t)P4(t)+ P1(t)P2(t) P3(t)+ P1(t)P2(t) P4(t)+
+ P1(t)P3(t) P4(t)+P2(t)P3(t) P4(t)- P1(t)P2(t) P3(t) P4(t) (3.11)
1-й працездатний
2-й працездатний
3-й працездатний
Рис.3.3. Діаграма для трьох паралельно з'єднаних елементів.
З виразів (3.9)-(3.11) можна побачити закономірність, яка дає змогу записати P(t) для n алельно з'єднаних елементів.
Надійність роботи системи при логічному паралельному з'єднанні елементів наочно ілюструє діаграма (рис.3.3).