Розділ 1. ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ ТА ВИЗНАЧЕННЯ

Теорія надійності як наука оперує такими основними поняттями та визначеннями.

Надійність — це властивість виробу (деталі, приладу, системи) виконувати задані функції, зберігаючи свої експлуатаційні показники в заданих межах, при певних режимах і умовах експлуатації, протягом необхідного часу чи необхідного об'єму виконаної виробом роботи.

Об'єм роботи виробу (кілометри, гектари, кубометри) чи тривалість функціонування виробу (години, цикли) характеризують таке поняття в теорії надійності як наробка.

Працездатність — властивість виробу виконувати задані функції з параметрами і характеристиками, які відповідають технічній документації.

Властивість виробу зберігати працездатність (тобто не мати відмов) протягом заданого часу і при визначених умовах експлуатації називається безвідмовністю.

Відмова — подія, після якої виріб перестає виконувати (цілком або частково) свої функції, або, інакше кажучи, — це подія, яка спричиняє перехід виробу з працездатного стану в непрацездатний.

Відмови можна класифікувати за цілим рядом ознак (табл. 1).

Пояснимо, що розуміють під тим чи іншим видом відмови,

Повні (катастрофічні) відмови — це такі відмови, при яких прилад втрачає працездатність (короткі замикання в електричних колах, поломки, заїдання і деформації механічних деталей, згорання чи розплавлений деталей конструкції і компонентів схем).

Часткові (параметричні) відмови — це погіршення якості функціонування виробу. Якщо погіршення якості функціонування виробу не призводить до відмови, то такі несправності називають дефектами, і їх розгляд виходить за межі теорії надійності.

Класифікація відмов Tаблиця 1

Класифікаційні ознаки	Види відмов
За ступенем впливу на працездатність	Повна (катастрофічна) Часткова (параметрична)
За зв'язком з іншими відмовами	1. Залежна 2. Незалежна
За часом появи відмови	Раптова 2. Поступова
За тривалістю існування відмови	Стійка 2. Тимчасова

Класифікація відмов на раптові і поступові до деякої міри умовна, тому що появі раптової відмови, здебільшого, передують скриті зміни властивостей елементів, які не вдається проконтролювати.

Такі типи відмов, як залежна і незалежна, або стійка і тимчасова, не потребують додаткового пояснення, тому що суть відмови повністю виражена в її назві.

У теорії надійності розрізняють два класи виробів:невідновлювані (не ремонтовані), тобто такі, які не підлягають ремонту у випадку відмови, і відновлювані, тобто ремонтопридатні. До перших належать переважно елементи складних виробів — деталі радіоелектронної апаратури, машин і приладів. Деякі пристрої можна розглядати як невідновлювані за одних умов і відновлювані за інших (наприклад, бортові пристрої ракет або штучних систем в космосі невідновлювані в польоті і відновлювані при підготовці до стартів).

Зауважимо, що надійність невідновлюваного виробу насамперед визначається його безвідмовністю.

Довговічність виробу — це здатність до довготривалої експлуатації при необхідному технічному обслуговуванні, до якого можуть входити різні види ремонтів.

Ремонтопридатність — це пристосовуваність виробу до попередження, знаходження і ліквідації відмови.

Ресурс — наробкадо критичного стану, який регламентується технічною документацією. Цей показник властивий виробам з особливо відповідальними функціями (літальні пристрої, системи;атомної енергетики тощо).

Елемент розрахунку надійності — це пристрій (деталь, елемент, прилад, лінія або канал зв'язку, система або комплекс' систем), який входить до розрахунку надійності окремою! самостійною частиною, що має свій загальний кількісний показник надійності.

Виріб — це будь-який предмет, чи сукупність предметів виробництва, які виробляються підприємством. Виробами можуть бути деталі, збірні модулі, комплекси і комплекти.

Система — це виріб, який складається з комплектуючих частин, що об'єднані або не об'єднані збірними операціями, і призначений для виконання певних функцій. Система може представляти собою не тільки сукупність комплектуючих технічних засобів, але й мати в своєму складі і нетехнічні засоби, наприклад, програмне забезпечення, людину-оператора та інше.

Об'єкт — це предмет цільового призначення, який розглядається в період проектування, виробництва, експлуатації, вивчення, дослідження чи випробування на надійність. Об'єктами можуть бути як системи, так і їх елементи.

В теорії надійності розглядають три найбільш вживані показники надійності:

— ймовірність безвідмовної роботи протягом заданого часу;

— середній час напрацювання до відмови;

— коефіцієнт готовності виробу.

Знаходження цих показників для різних теоретичних розподілів випадкових величин, що характеризують надійність виробів, буде розглянуто в наступних розділах.

Неремонтовані вироби працюють до першої відмови. Цілий ряд показників надійності неремонтованих об'єктів є характеристиками випадкової величини — часу наробки виробу до відмови. Під часом наробки до відмови розуміють тривалість роботи виробу. Для великої кількості виробів, які випробуються, цей показник є різним і носить випадковий характер, а його середньоквадратичне відхилення називається дисперсією.

Розділ 2. ТЕОРЕТИЧНІ АСПЕКТИ РОЗРАХУНКУ НАДІЙНОСТІ

2.1. Емпіричні залежності для оцінки надійності

Для кількісної оцінки надійності чи ненадійності роботи будь-якого виробу необхідно мати інформацію про поведінку цілої групи таких виробів, тобто простежити, як відмовляють елементи в часі. У цьому випадку можливі дві ситуації, які можна проілюструвати графіками (рис.2.1а і 2.16). Ці графіки представляють собою залежності кількості працездатних елементів в часі, тобто n(t) у вигляді гістограми (а) та її лінійної апроксимації (б), коли графік проходить через значення n(t_i) на початку часового інтервалу.

Рис.2.1 Дискретна (гістограма) і неперервна (апроксимована) функції п(t).

З графіків 2.1 насамперед можна визначити функцію працездатності (надійності)

P^*(t)=n(t)/No. (2.1)

де N„ — початкова кількість елементів.

Очевидно, що Р^*(0) = 1, а Р*() = 0.

Знайдемо кількість елементів, які вийшли з ладу (відмовили) за час 

n = n(t_i)-n(t_i+t). (2.2)

Тоді швидкість виходу з ладу визначимо як відношення n/t. Для отримання нормалізованої форми цієї швидкості (густини відмов) перейдемо до співвідношення

. (2.3)

Зрозуміло, що така функція залежить від того, в якому місці на осі часу розглядається інтервал t, і тому не може бути параметром надійності елемента. Цього можнo уникнути, якщо швидкість виходу з ладу елементів розділити на n(t_i)

. (2.4)

Характеристику, яку ми одержали, назвемо емпіричною інтенсивністю відмов, або емпіричною функцією азарту.

Крім емпіричної функції надійності P*(t), широко використовується емпірична функція ненадійності (відмов) Q*(t)

. (2.5)

Залежності (2.1)—(2.5) записані для випадку, коли n(t) зображено графіком на рис.2.1 ,а, до того ж  t = const на всьому часовому інтервалі. У випадку, коли n(t) зображено графіком на рис.2.1,6, емпіричну функцію надійності в будь-який момент часу розраховуємо за формулою

(2.6)

Графічний вираз (2.6) наведено на рис2.2. , а функції f^*(t) i ^*(t) в цьому випадку набувають вигляду

Рис.2.2. Залежність емпіричної функції надійності від часу.

. (2.7)

. (2.8)

Величину n(t) розраховуємо за даними спостереження в моменти часу t ± t_i+1 , між якими знаходиться час t, таким чином:

(2.9)

Ми розглянули випадки, коли t=const, або є змінним. У той же час можна t змінювати не довільно, а фіксувати інтервали часу, протягом якого відмовляє один елемент, тобто

. (2.10)

У цьому випадку отримаємо:

t_i<t<t_i+1

t_i<t<t_i+1. (2.11)

2.2. Ймовірнісні характеристики надійності

Для кількісної оцінки надійності функціонування неремонто-ваних виробів широко використовують характеристики та поняття, трактування яких запозичене з теорії ймовірності. Це пояснюється тим, що відмови мають випадковий характер, а тому описуються ймовірнісними залежностями.

Отже, можна говорити про двояке трактування характеристик надійності: емпіричні, на основі статистичних досліджень, і теоретичні, які визначаються на основі постулатів теорії ймовірності. Останні дали змогу викристалізуватися теорії надійності в науку зі своїм специфічним апаратом досліджень.

Як вже згадувалося, одним з основних показників надійності є ймовірність безвідмовної роботи виробу протягом заданого часу, інакше кажучи — це ймовірність того, що час Г безвідмовної роботи елемента чи системи буде більшим від заданого часу t, тобто

P(t)=P{T>t}. (2.12)

Аналогом цієї характеристики є функція працездатності P*(t), вираз (2.1) якої записаний в розділі 2.1.

Ймовірність відмов Q(t) — це ймовірність того, що час Г безвідмовної роботи елемента чи системи буде меншим від заданого часу t, тобто

Q(t)=P{T<t}. (2.13)

Аналогом цієї характеристики є функція ненадійності Q^*(t), яку описує вираз (2.5).

Оскільки події «відмова» і «невідмова» утворюють повну групу подій, то

P(t)+Q(t)=l. (2.14)

Одним з недоліків показників P(t) і Q(t) є їхня залежність від часу. Тому ці характеристики здебільшого використовують для порівняльного аналізу надійності декількох виробів в один і той самий час, визначаючи коефіцієнт збільшення ймовірності безвідмовної роботи

S_p=P₁(t_i)/P₂(t_i) (2.15)

або коефіцієнт зменшення ймовірності відмов

S_q=Q₁(t_i)/Q₂(t_I). (2.16)

Для оцінки тенденції зміни функції Q(t)служить густина розподілу часу наробки до відмови f(t) (аналог — густина відмов f^*(t)}. Традиційно густину функції відмов визначають

f(t) == dQ(t)/dt, (2.17) причім

(2.18)

Ймовірність відмов в інтервалі часу t, ...t, можна виразити через f(t) таким чином

(2.19)

або, якщо t₁=0 ,a t₂=

(2.20)

Очевидно, що

Q(0)=0,Q()=1 (2.21)

З виразу (2.21) на основі (2.14) випливає, що

P(0) = 1, Р() = 0. (2.22)

Наступною характеристикою є функція, яку називають функцією азарту, або інтенсивністю відмов. Ми будемо користуватися останньою назвою.

Інтенсивність відмов визначають як кількість відмов перемонтованого виробу з партії виробів в одиницю часу після даного моменту часу, за умови, що до цього моменту відмова не виникла.

Розглянемо два інтервали часу на часовій осі. Перший (0,t) і другий (t, t+t).

_________________t_____________________

0 t t+t Час

Для того, щоб якийсь елемент міг відмовити в інтервалі часу (t, t+t), він мусить безвідмовно попрацювати в інтервалі (0,t).

Тому ймовірність відмови q(t, t+t) за час t згідно з правилом множення ймовірності

q(t, t+t) =f(t)dt=P(t)Z(t) (2.23)

де P(t) — ймовірність безвідмовної роботи елемента протягом інтервалу часу (0,t); Z(t) — умовна ймовірність відмови елемента за час (t, t+t) , знайдена з урахуванням того, що елемент безвідмовно працював протягом часу (0,t).

Нехай цю умовну ймовірність виражає формула

Z(t)=(t)dt,

де (t)-інтенсивність відмов.

Враховуючи, що ,знайдемо

.

Проілюструємо взаємозв'язок між P(t), Q(t), f(t), (t) на графіку (рис.2.3) залежності f(t)

Рис.2.3. Графічне зображення співвідношення між характеристиками (крива розподілу часу наробки до відмови).

Інтенсивність відмов (t) у відповідності з графіком рис.2.3 визначається як частка від ділення функції f(t) (висота) на площу, яка є праворуч від висоти. Графік f(t) називають кривою розподілу часу наробки до відмови.

Якщо відома будь-яка функція з чотирьох f(t), Q(t), P(t) чи (t), то три інші можна визначити. Доведемо це.

Випадок 1.

Відомо f(t). Знайдемо інші три функції:

. (2.24)

. (2.25)

. (2.26)

Випадок. 2.

Відомо Q(t). Знайдемо інші три функції:

f(t) = dQ(t)/dt. (2.27)

P(t)= l-Q(t). (2.28)

(t)==(dQ(t)/dt)  l-Q(t). (2.29)

Випадок. 3..

Відомо P(t). Знайдемо інші три функції:

Q(t) = l-P(t) . (2.30)

f(t)=-dP(t)/dt. (2.31)

. (2.32)

Випадок 4.

Відомо (t}. Знайдемо інші три функції. Перейшовши до іншої змінної , домножимо праву і ліву частини виразу (2.32.) на d

-()d=dP()/P() (2.33)

Проінтегруємо вираз (2.33) з межами інтегрування 0  t.

. (2.34)

Враховуючи, що Р(0) = 1, запишемо

InP(t)=- .

(t) — сумарна (кумулятивна) функція інтенсивності відмов. Таким чином отримаємо:

(2.35)

Оскільки f(t) = (t) P(f), то запишемо

(2.36)

Нарешті, ймовірність відмов може бути знайдена так:

(2.37)

Вирази (2.35), (2.36), (2.37) дають змогу знайти три функції через відому функцію інтенсивності відмов (t).

Доволі часто використовують таку характеристику, як середній час наробки до відмови T_м , який є математичним сподіванням часу наробки до відмови.

У відповідності з визначенням математичного сподівання неперервної невід'ємної випадкової величини запишемо

. (2.38)

Інтегруючи по частинах, отримаємо

T_м=-.

Оскільки:

-,

то

. (2.39)

Таким чином, середній час наробки до відмови чисельно дорівнює площі під кривою P(t). У випадку, якщо (t)=const, то з виразу (2.39) отримаємо

(2.40)

Підставивши в (2.35) значення t=T_м= 1/, знайдемо, що середній час наробки до відмови можна розуміти як наробку t=T_м, протягом якої виріб залишається працездатним з ймовірністю P(T_м) = exp(-l) = 0,37.

Для простих перемонтованих виробів, наприклад, елементів електронних схем, середня наробка до першої відмови є поняттям умовним, тому що переважно вони не експлуатуються так довго і старіють значно швидше, ніж встигають напрацювати Т_м. Середній час наробки до відмови може бути визначений за статистичними даними як середньоарифметичне значення часу наробки до відмови виробів даної партиї (оцінка Т_м по вибірці)

. (2.41)

Незручність цієї формули полягає в тому, що необхідно знати часи виходу з ладу кожного з усіх виробів партії.

За іншим способом визначають час t_n, протягом якого виходять з ладу всі вироби даної партії, а також значення інтервалу часу t і кількість елементів m, які відмовили в цьому інтервалі. Тоді

. (2.42)

де k=t_n/t, t_cepi=(t_-i+1+ t_i)/2

Для ремонтованих систем (систем з відновленням відповідними критеріями надійності [14] є:

— ймовірність наробки між відмовами Р(Т_з) більше заданого часу Т_з;

— параметр потоку відмов системи (t);

— наробка на відмову t _н.

Під наробкою на відмову розуміється середня тривалість, чи об'єм роботи системи між відмовами, які виникають послідовно.

Величина Р(Т_з) — це є ймовірність того, що наробка між відмовами t_н буде більшою заданого часу T_з:

P(T_з)=P{t_н>T_з} (2.43)

Цей показник є одним з найважливіших стосовно ремонтованих систем.

Процес функціонування пристроїв складається з послідовності відмов, які відбуваються одна за одною у випадкові моменти часу за умови негайного відновлення. Важливим показником потоку відмов є параметр потоку, який визначається ймовірністю появи хоча б однієї відмови в одиницю часу після моменту t.

Потік відмов елементів розглядається в таких системах, де ці елементи послідовно відмовляють. Мова йде про те, що елемент, який спочатку функціонував у системі, відмовив; його замінюють новим, який пізніше також відмовить, і т.д. Статистичне параметр потоку можна розрахувати як відношення середньої кількості відмов в одиницю часу m'(t)/t до загальної кількості позицій системи N', де ці елементи встановлені

^*(t)=. (2.44)

Потоки відмов елементів переважно є одинарними, тобто такими, в яких ймовірність появи в якийсь момент часу більше однієї відмови дуже мала і нею можна знехтувати. Потік відмов ремонтованої системи утворюється сукупністю одинарних потоків відмов елементів, що в неї входять, які розміщені на відповідних позиціях. Параметр потоку відмов такої ремонтованої системи *(t) дорівнює сумі параметрів потоків *(t) складових елементів, які розміщені на m* позиціях

. (2.45)

Важливо відзначити, що в загальному випадку параметр потоку відмов*(t) в тій позиції системи, де встановлено елемент, не дорівнює інтенсивності відмов (t) цього елемента. Порівнюючи вираз для статистичного визначення інтенсивності відмов^*(t) і *(t) , видно, що ці характеристики є різними і збігаються тільки при (t) = const. Зокрема, це слід мати на увазі при визначенні показників надійності за статистичними даними, які отримані в експлуатаційних умовах. Характер таких даних і способи їх обробки часто є такими, що фактично оцінюють параметри потоку відмов. Використання цих величин в ролі величин інтенсивностей відмов може призвести до значних похибок при розрахунку надійності.

Потік відмов називається стаціонарним, якщо ймовірність появи якоїсь кількості відмов в інтервалі часу t... (t+t) залежить тільки від t і не залежить від t. Параметр стаціонарного потоку є постійною величиною. Для елемента, який встановлений в i—тій позиції системи, він дорівнює величині, оберненій значенню середнього часу Т_im наробки до відмови елемента:

. (2.46)

Важливою властивістю потоку відмов є його наслідки. Відсутність наслідків означає, що відмови є випадковими і незалежними однієї події від іншої. Потік відмов, якому одночасно властива одинарність, стаціонарність і відсутність наслідків, називається простим (або пуассонівським) потоком.

Поширеним показником надійності ремонтованих систем є наробка до відмови T_н . Якщо відома густина ймовірності часу між відмовами (t_н) то T_н може бути визначено так:

(2.47)

В усталеному режимі роботи системи, коли ^*(t)= const, наробка до відмови дорівнює величині, оберненій параметру потоку відмов

. (2.48)

Ремонтовані системи характеризуються також показниками ремонтопридатності. Показником ремонтопридатності є ймовірність P(t _зв) відновлення системи за заданий час t_в і середній час відновлення Т_в. Якщо густина ймовірності відновлення системи визначається функцією f(t_в), то ймовірність відновлення за час t_в дорівнюватиме

(2.49)

а середній час відновлення буде

(2.50)

Середній час відновлення показує середні затрати часу на виявлення і ліквідацію відмови при деяких заданих умовах роботи.

Крім розглянутих показників надійності ремонтованих систем, існують ще й інші, а саме: функція готовності і простою, коефіцієнти готовності і простою. Ці показники більш детально розглядаються в § 5.2.

Очевидно, що показники надійності як перемонтованих, так і ремонтованих пристроїв і систем є різноманітними, але між ними існують певні зв'язки. Тому при аналізі надійності слід використовувати не всі показники, а вибирати ті, які найповніше характеризують надійність, і до кожного випадку підходити індивідуально.