2.4. Пассивные элементы электрической цепи.

Резистор r , индуктивность L и емкость C являются пассивными элементами электрической цепи. Резистор r или активное сопротивление цепи – это элемент, в котором происходит рассеивание энергии в виде тепла или превращение электрической энергии в другой вид энергии: в световую, химическую или механическую.

Индуктивность L и емкость C называются реактивными элементами цепи, в них происходят накапливание энергии в виде магнитного или электрического поля. Рассеивание энергии в таких элементах отсутствует. Идеальные элементы r, L, C на схеме обозначаются так, как это показано на рис. 2.3а.

Реальные катушки индуктивности и конденсаторы рассеивают часть энергии. Этот факт учитывается с помощью добавочных сопротивлений для катушки и для конденсаторов, рис. 2.3б. В проволочных сопротивлениях и катушках индуктивности учитывают также межвитковую емкость , рис 2.3б.; в реальном конденсаторе можно учесть паразитную индуктивность подводящих контактов , рис. 2.3б.

Рассматривая пассивные элементы цепи r , L, C ответим на следующие вопросы:

1. Каково соотношение между мгновенным значением тока и напряжения на каждом элементе? Каков вид векторов тока и напряжения?

2. Каковы мгновенная мощность p(t) и накопленная энергия магнитного или электрического полей?

3. Каково соотношение тока и напряжения на элементе в комплексной форме, как изображаются вектора тока и напряжения на комплексной плоскости.

Под мгновенным значением мощности p(t) понимают произведение мгновенного значения напряжения u(t) на элементе цепи на мгновенное значение протекающего по элементу тока i(t):

.

2.5. Резистивный элемент.

2.5.1. Пусть ток в резисторе:

.

Мгновенное значение напряжения на резисторе:

Векторы тока и напряжения на резисторе приведены на рис. 2.4б. Закон Ома для резистора имеет вид:

или .

2.5.2. Мгновенная мощность p(t) равна:

Временные диаграммы i(t), u(t), p(t) приведены на рис.2.4в. Мощность р(t) имеет постоянную составляющую или среднее значение, называемое активной мощностью Р:

Активная мощность Р измеряется в ваттах (Вт).

2.5.3. В комплексной форме напряжение на резисторе записывается в виде

Векторы тока и напряжения на комплексной плоскости приведены на рис. 2.4г.

2.6. Индуктивный элемент в цепи синусоидального тока.

Индуктивный элемент учитывает явления накапливания энергии магнитного поля и характеризуется зависимостью потокосцепления от тока i:

, измеряется в генри (Гн).

2.6.1. Мгновенное значение напряжения на индуктивности:

Здесь - ЭДС, наводимая изменяющимся во времени магнитным потоком.

Если принять ток в катушке , то напряжение запишется в виде:

.

Векторы тока и напряжения показаны на рис. 2.5б. Напряжение опережает ток в катушке на угол . Закон Ома для индуктивности:

или ,

где - индуктивное сопротивление катушки, измеряется в Омах (Ом). Сопротивление - частично зависимая величина, увеличивается с ростом частоты, рис. 2.5в.

2.6.2. Мгновенная мощность:

Мощность называется реактивной и измеряется в вольт-амперах реактивных (ВАр). Временные диаграммы w(t), i(t) и p(t) для катушки приведены на рис. 2.5г. Средняя мощность равна нулю, т.е. рассеивание мощности или потери отсутствуют. Энергия магнитного поля катушки равна:

Временная диаграмма W(t), приведена на рис. 2.5д. Максимальная энергия магнитного поля катушки:

.

2.6.3. Напряжение на индуктивности в комплексной форме.

Так как напряжение на катушке:

,

то

Здесь - индуктивное сопротивление в комплексной форме.

Оператор отражает дифференцирование напряжения на индуктивности.

Закон Ома в комплексной форме:

или

Вектора тока и напряжения на комплексной плоскости приведены на рис. 2.5е.

2.7. Емкостный элемент в цепи синусоидального тока.

Емкость отражает явление накапливания электрического поля и характеризуется зависимостью заряда q от напряжения u :

2.7.1. Мгновенное значение напряжения на конденсаторе:

Пусть , тогда напряжение на конденсаторе:

Это напряжение отстает от тока на угол .

Векторы тока и напряжения приведены на рис.2.6б.

Закон Ома для емкости:

или ,

где - емкостное сопротивление, измеряется в омах (Ом).

Емкостное сопротивление уменьшается с ростом частоты. Зависимость от частоты приведена на рис. 2.6.в.

2.7.2. Мгновенная мощность на конденсаторе:

Q – реактивная мощность конденсатора. Временные диаграммы , i (t), p (t) приведены на рис. 2.6г.

Среднее значение мощности равно нулю, т.е. рассеивание мощности или потери отсутствуют. Энергия электрического поля в конденсаторе равна:

График приведен на рис. 2.6д.

Максимальная энергия электрического поля равна:

2.7.3. Напряжение на емкости в комплексной форме.

Так как ,

То .

Здесь - емкостное сопротивление в комплексной форме.

Оператор отражает интегрирование тока в формуле напряжения на емкости.

Закон Ома в комплексной форме или . Векторы и приведены на рис. 2.6е.

2.8. Последовательное соединение элементов r, L, C.

Для схемы рис. 2.7. уравнение по второму закону Кирхгофа для мгновенных значений запишем в виде:

(7)

Пусть , тогда:

(8)

Вектор тока и векторная диаграмма напряжений приведены на рис. 2.8. Векторы напряжений на активном и реактивном элементах ортогональны, а векторы напряжений на L и C смещены на .

В комплексной форме уравнение (8) примет вид:

(9)

Здесь

- комплексное сопротивление,

- модуль комплексного сопротивления

- фаза комплексного сопротивления.

На комплексной плоскости сопротивления - образуют треугольник сопротивления, рис. 2.10.

Если сопротивления умножить на , получим диаграмму напряжений, рис. 2.9.

Сравнивания уравнения (8) и (9), отметим, что дифференциальные уравнения (8) после замены мгновенных значений их комплексными символами переводится в уравнение алгебраическое (9). Это одно из преимуществ комплексного метода расчета.

Введение понятия комплексного сопротивления, позволяет написать закон Ома для всей цепи в комплексной форме или для модулей комплексов

Таким образом, для целей переменного тока можно составлять уравнения, по структуре сходной с уравнениями для цепей постоянного тока.