2. Физический и геометрический смысл производной

1) Физический смысл производной.

Если  функция y = f(x) и ее аргумент x являются физическими величинами,  то производная  – скорость изменения переменной y относительно переменной x в точке.  Например, если S = S(t) – расстояние, проходимое точкой за время t,  то ее производная – скорость в момент времени.  Если  q = q(t) – количество электричества, протекающее через поперечное сечение проводника в момент времени  t,  то  – скорость изменения количества электричества в момент времени, т.е. сила тока в момент времени.

2) Геометрический смысл производной.

Пусть  – некоторая кривая, – точка на кривой .

Любая прямая, пересекающая  не менее чем в двух точках называется секущей.

Касательной к кривой в точке  называется предельное положение секущей  ,  если точка  стремится к ,  двигаясь по кривой.

Из определения очевидно, что если касательная к кривой в точке существует, то она единственная

23. Правила дифференцирования При дифференцировании константу можно выносить за производную:    Правило дифференцирования суммы функций:    Правило дифференцирования разности функций:    Правило дифференцирования произведения функций (правило Лейбница):    Правило дифференцирования частного функций:    Правило дифференцирования функции в степени другой функции:    Правило дифференцирования сложной функции:    Правило логарифма при дифференцировании функции:   

ПРОИЗВОДНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ

Производные высших порядков

  Если f '(x) — производная функции f (x), то производная от нее по независимой переменной x, (f '(x))' = f ''(x), называется производной второго порядка. Аналогично определены производные 3-го, 4-го, , и т.д, n-го порядка: f''' (x) = ( f'' (x))' , f (4)(x) = (f''' (x))' , f ⁽ⁿ⁾(x) = (f ^{(n -1)}(x))' 

24. Правила нахождения наибольшего и наименьшего значений функции, непрерывной на сегменте.

1) Найти значения f(a) и f(b) на концах данного сегмента;

2) Найти критические точки функции fна (a,b) и вычислить в них значения функции;

3) Сравнив между собой, найденные в 1) и 2) значения функции, выбрать наименьшее и наибольшее из них.

 Пример 1.

Найти локальные экстремумы функции f(x)=43·x4−x3−9·x2+1  . 1) способ. Функция всюду дифференцируема, поэтому ее критические точки будут стационарными точками. И так как f′(x)=3·x3−3·x2−18·x=3x·(x+2)·(x−3)  при переходе через точки -2,0,3 меняет свой знак, то в каждой из них функция имеет свой локальный экстремум.

При переходе через точку х=0  f′меняет свой знак с `+' на `-', значит f(0)=1- локальный max.  х=−2, х=3f′ меняет свой знак с `-' на `+', значитf(−2)=−15,  f(3)=−185/4 , - локальные min. 2) способ.

 f′′(x)=9·x2−6x−18  f′′(−2)>0,f′′(0)<0,f′′(3)>0    

По Теореме f(0)=1 - локальный max, f(−2)=−15,  f(3)=−185/4  - локальные min