Свойства предела последовательности. Общие свойства.

Определение 29. Последовательность называется финально постоянной, если $ AО R и $ N, что для всех n>N x_n = A.

Теорема 7. (свойства предела последовательности)

1. Финально постоянная последовательность сходится.

2. Если последовательность сходится, то предел единственен.

3. Сходящаяся последовательность ограничена.

20. Предел функции

Предел функции — одно из основных понятий математического анализа. Функция f(x) имеет предел L в точке x₀, если для всех значений x, достаточно близких к x₀, значение f(x) близко к L.

Предел функции на бесконечности описывает поведение значения данной функции, когда её аргумент становится бесконечно большим (по абсолютной величине).

Обозначение предела функции

Предел функции обозначается как

или через символ предела функции:

Если при прочтении данного материала у Вас возникнут вопросы, Вы всегда можете задать их на нашем форуме, также на форуме Вам помогут решить задачи по математике,геометрии, химии, теории вероятности и многим другим предметам.

Свойства пределов функции

1) Предел постоянной величины

Предел постоянной величины равен самой постоянной величине:

2) Предел суммы

Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций:

Аналогично предел разности двух функций равен разности пределов этих функций.

Расширенное свойство предела суммы:

Предел суммы нескольких функций равен сумме пределов этих функций:

Аналогично предел разности нескольких функций равен разности пределов этих функций.

3) Предел произведения функции на постоянную величину

Постоянный коэффициэнт можно выносить за знак предела:

4) Предел произведения

Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций:

Расширенное свойство предела произведения

Предел произведения нескольких функций равен произведению пределов этих функций:

5) Предел частного

Предел частного двух функций равен отношению пределов этих функций при условии, что предел знаменателя не равен нулю:

21. Непрерывность функции в точке.

 

         21   Определение. Функция f(x), определенная в окрестности некоторой точки х₀, называется непрерывной в точке х₀, если предел функции и ее значение в этой точке равны, т.е.

 

Тот же факт можно записать иначе: 

 

            Определение. Если функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х₀, но не является непрерывной в самой точке х₀, то она называется разрывной функцией, а точка х₀ – точкой разрыва.

 

Пример непрерывной функции:

 

 

 

                                                           y

 

                                               f(x₀)+

                                                  f(x₀)

                                               f(x₀)-

 

0  x₀-   x₀ x₀+                                  x

 

 

 

 

 

Пример разрывной функции:

 

                                                                       y

 

                                               f(x₀)+

                                                  f(x₀)

                                               f(x₀)-

                                                                                  x₀                                x

 

 

 

 

 

            Определение. Функция f(x) называется непрерывной в точке х₀, если для любого положительного числа >0 существует такое число >0, что для любых х, удовлетворяющих условию

верно неравенство                               .

 

            Определение.  Функция f(x) называется непрерывной в точке х = х₀, если приращение функции в точке х₀ является бесконечно малой величиной.

 

f(x) = f(x₀) + (x)

где (х) – бесконечно малая при хх₀.

 

 

 

Свойства непрерывных функций.

 

1) Сумма, разность и произведение непрерывных в точке х₀ функций – есть функция, непрерывная в точке х₀.

 

2) Частное двух непрерывных функций – есть непрерывная функция при условии, что g(x) не равна нулю в точке х₀.

 

            3) Суперпозиция непрерывных функций – есть непрерывная функция.

Это свойство может быть записано следующим образом:

Если u = f(x),  v = g(x) – непрерывные функции в точке х = х₀, то функция v = g(f(x)) – тоже непрерывнаяфункция в этой точке.

 

            Справедливость приведенных выше свойств можно легко доказать, используя теоремы о пределах.

Точки разрыва функции

Если функция f (x) не является непрерывной в точке x = a, то говорят, что f (x) имеет разрыв в этой точке. На рисунке 1 схематически изображены графики четырех функций, две из которых непрерывны при x = a, а две имеют разрыв. Непрерывна при x = a. Имеет разрыв при x = a. Непрерывна при x = a. Имеет разрыв при x = a. Рисунок 1. Классификация точек разрыва функции Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода.  Говорят, что функция f (x) имеет точку разрыва первого рода при x = a, если в это точке Существуют левосторонний предел  и правосторонний предел ; Эти односторонние пределы конечны. При этом возможно следующие два случая: Левосторонний предел и правосторонний предел равны друг другу: Такая точка называется точкой устранимого разрыва. Левосторонний предел и правосторонний предел не равны друг другу: Такая точка называется точкой конечного разрыва. Модуль разности значений односторонних пределов называется скачком функции. Функция f (x) имеет точку разрыва второго рода при x = a, если по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.

22. пределение. Производной функции f в точке х₀ называется число, к которому стремится разностное отношение 

при Δх, стремящемся к нулю.  Производная функции f в точке х₀ обозначается f`(х<sub>0</sub>) (читается: «Эф штрих от Х<sub>0</sub>»).  Функцию, имеющую производную в точке x<sub>0</sub>, называют дифференцируемой в этой точке. Пусть D<sub>1</sub> - множество точек, в которых функция f дифференцируема. Сопоставляя каждому x∈D<sub>1</sub> число f`(x), получим новую функцию с областью определения D₁. Эта функция называется производной функции y=f(x) и обозначается f` или y`.  Нахождение производной данной функции f называется диффиренцированием.