Угол между прямыми на плоскости

            Определение. Если заданы две прямые y = k₁x + b₁,  y = k₂x + b₂, то острый угол между этими прямыми будет определяться как

.

Две прямые параллельны, если k₁ = k₂.

Две прямые перпендикулярны, если k₁ = -1/k₂.

            Теорема. Прямые Ах + Ву + С = 0 и А₁х + В₁у + С₁ = 0 параллельны, когда пропорциональны коэффициенты А₁ = А,  В₁ = В. Если еще и С₁ = С, то прямые совпадают.

            Координаты точки пересечения двух прямых находятся как решение системы  уравнений этих прямых.

 10. Общее уравнение второго порядка с двумя переменными имеет вид

Ах² + Вху + Су² + Dx + Еу + F = 0,      A² + В²  + С² =/= 0

11. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек той же плоскости, назывемых фокусами эллипса , есть величина постоянная

Уравнение эллипса ( рис.1 ) :

Отрезок  F₁F₂ = 2 с ,  где , называется фокусным расстоянием. Отрезок  AB = 2 a называется большой осью эллипса, а отрезок  CD = 2 b –малой осью эллипса. Число  e = c / a ,  e < 1 называется эксцентриситетом эллипса.

 

Пусть  Р ( х₁ ,  у ₁ ) – точка эллипса, тогда  уравнение касательной к эллипсу в данной точке имеет вид:

Условие касания прямой  y = m x + k  и эллипса  х ² / a ²  +  у  ² / b ²  = 1 :

 

 

k ²  = m ² a ² + b ² .

12. Гиперболой называется геометрическое место точек, для которых разность расстояний до двух фиксированных точек плоскости, называеых фокусами, есть постоянная величина; указанная разность берется по абсолютному значению и обозначается через2а. Фокусы гиперболы обозначают буквами  и , расстояние между ними - через 2с. По определению гиперболы , или .

Пусть дана гипербола. Если оси декатовой прямоугольной системы координат выбраны так, что фокусы данной гиперболы располагаются на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, то в этой системе координат уравнение гиперболы имеет вид

 (1)

где . Уравнение вида (1) называется каноническим уравнением гиперболы. При указанном выборе системы координат оси координат являются осями симметрии гиперболы, а начало координат - ее центром симметрии (рис.). Оси симметрии гиперболы называются просто ее осями, центр симметрии - центром гиперболы. Гипербола пересекает одну из своих осей; точки пересечения называются вершинами гиперболы

13. Параболой ( рис.1 ) называется геометрическое место точек, равноудалённых  от заданной точки  F , называемой фокусом параболы, и данной прямой, не проходящей через эту точку и называемой директрисой параболы.

Уравнение параболы ( рис.1 ) :

 

y ² = 2 p x .

 

Здесь ось ОХ  является осью симметрии параболы.

 

Пусть  Р ( х₁ ,  у ₁ ) – точка параболы, тогда  уравнение касательной к параболе  в данной точке имеет вид:

 

у ₁ y  = p ( x +  х₁ ) .          

 

Условие касания прямой  y = m x + k  и параболы  y ² = 2 p x :

 

2 m k   = p 

14.

15. Вектором называеься направленный отрезок(отрезок,у которого одна граничная точка считается начальной, другая - конечной). Над буквенным обозначением вектора ставится стрелка. Длиной вектора называеттся расстояние между началом и концом вектора. Нулевым называется вектор,у которого начало и конец  равны нулю. Его направление не определено. Два ненулевых вектора, лежащих на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными. Нулевой коллинеарен любому вектору. Вектор, длина которого равна единице,называется единичным вектором. Векторы называют равными,если они коллинеарны,имеют одинаковую длину и направление. Три вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.  Если тройка векторов содержит нулевой вектор или пару коллинеарных векторов,то эти векторы компланарны. Векторы называют противоположными, если их длины равны,а направления противоположны.  Суммой векторов, расположенных так,что начало 1ого вектора совпадает с концом 2ого вектора, называется 3ий вектор, начало которого совпадает с началом 1ого вектора, а конец- с концом 2ого вектора. Вектор с называется разностью векторов а и б , если с+б=а. Отсюда следует,что с = а+(-б), т.е. вычитание векторов сводится к их сложению. Произведением вектора с на число н,называется такой вектор с, что модуль с =  модуль н * а, а направление его совпадает с направление вектора а, если н>0, и ему противоположно, если число меньше 0; если а равно нулю и число = 0, то их произведение = 0.

16.