- •Вопрос № 1 Понятие матрицы. Виды матриц
- •Вопрос № 2 Сложение матриц. Умножение матрицы на число
- •Вопрос № 3 Произведение матриц
- •Вопрос № 5 Определители матриц. Свойства определителей
- •Вопрос № 18
- •Вопрос № 12-(33) Замечательные пределы.
- •Вопрос № 14-(34) Односторонние и двусторонние пределы функции. Точки разрыва и их классификации
- •Вопрос № 9
- •Сравнение бесконечно малых величин. Бесконечно большая величина. Правило Лопиталя. Раскрытие неопределенностей типа 0/0, бесконечность/ бесконечность
- •Вопрос № 7
- •Вопрос № 10 Решение систем линейных уравнений методом Гаусса
- •Вопрос № 8 Матрица, обратной данной и ее вычисление
- •Вопрос № 20-(40) Производные высших порядков Механистический смысл 2ой производной
- •Вопрос № 19-(39) Производные сложной и обратной функции
- •Доказательство
- •Доказательство
- •Вопрос № 22-(42) Теорема Роля, Коши, Лангранжа о дифференцируемых функциях
- •Билет № 17-(37) Правило дифференцирования. Таблица производных
- •Вопрос № 16-(36)
- •Вопрос № 15-(35)
- •Геометрический смысл производной
- •Механический смысл производной
- •Вопрос № 10-(43)
- •Вопрос № 8-(44) Экстремум функции и критические точки. Необходимое экстемума фукции
- •Вопрос № 7-(43)
- •Вопрос № 6-(46) Асимптомы графика функции. Общая схема исследования функции и построение графиков
- •Вопрос № 20 Параллельный перенос и поворот осей координат
- •Вопрос № 21 Общее уравнение прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •Вопрос № 23 Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой
- •Вопрос № 1-(24) Угол между прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности прямых
- •Вопрос № 11 Методом Крамера
- •Вопрос № 13 Понятие вектора. Операции над векторами в геометрической форме
- •Вопрос № 14 Проекции вектора на ось и ее свойства
- •Вопрос № 15 Разложение вектора по ортам координатных осей
- •Вопрос № 14-(32) Теоремы о непрерывных функциях.
- •Вопрос № 11-(30) Бесконечно малые величины (функции). Теоремы о бесконечно малых величинах
- •Вопрос № 10-(29) Понятие последовательности и ее предела. Предел функции. Теоремы о пределах
- •Уравнение параболы и исследование ее формы
- •Вопрос № 5-(27) Уравнение гиперболы и исследование ее формы. Эксцентриситет и ассимптоматы гиперболы
- •Вопрос № 4-(25)
Вопрос № 15-(35)
Производная функции — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции. Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если таковой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную, называют дифференцируемой. Процесс вычисления производной называется дифференцированием.
Геометрический смысл производной
Пусть функция определена в некоторой окрестности токи , непрерывна в этой точке и , а (рис.2).
Рис. 2
Придав произвольное приращение аргументу , так чтобы , перейдем к точке с абсциссой и ординатой , где .
Уравнение прямой, проходящей через точки и (секущей графика функции , имеет вид: , где отношение представляет собой угловой коэффициент секущей (.
Касательной к графику функции в точке называется предельное положение секущей , при стремлении точки по графику к точке .
Для того, чтобы секущая при стремилась к предельному положению, отличному от вертикальной прямой , необходимо и достаточно, чтобы существовал конечный предел , то есть , чтобы существовала конечная производная функции в точке .
Угловой коэффициент касательной получается путем перехода от к пределу при :
Таким образом, получим, что , где - угол наклона касательной к оси (см. рис.), а значение производной равно угловому коэффициенту касательной к графику функции. В этом заключается геометрический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции в точке имеет вид
В случае бесконечной производной .
Из уравнения секущей имеем:
Переходя в равенстве к пределу при , получаем уравнение касательной к графику функции в точке в виде , то есть касательная является в данном случае вертикальной прямой, проходящей через точку оси абсцисс.
Механический смысл производной
Пусть материальная точка движется прямолинейно и - длина пути, проходимого за время , отсчитываемого от некоторого момента времени .
Для определения скорости в данный момент придадим переменной некоторое приращение , при этом приращение пути будет равно .
Отношение называется в физике величиной средней скорости движения за промежуток времени, начиная с момента времени , и обозначается
Предел называется величиной мгновенной скорости движения в момент времени .
Таким образом, мгновенная скорость в момент времени прямолинейного движения, совершаемого по закону равна значению производной .
Вопрос № 10-(43)
НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ВОЗРАСТАНИЯ И УБЫВАНИЯ ФУНКЦИИ
Вспомним сначала определения возрастающей и убывающей функций.
Функция y=f(x), определенная на некотором отрезке [a, b] (интервале (a, b)), называется возрастающей на этом отрезке, если большему значению аргумента x из [a, b] соответствует большее значение функции, то есть если x1 < x2, то f(x1) < f(x2).
Функцияy=f(x) называется убывающей на некотором отрезке [a, b], если меньшему значению аргумента x из [a, b]соответствует большее значение функции, то есть если x1 < x2, то f(x1) > f(x2).
Функция, только возрастающая или только убывающая на отрезке, называется монотонной на этом отрезке.
Функция y=f(x) называется постоянной на некотором отрезке [a, b], если при изменении аргумента x она принимает одни и те же значения.
Рассмотрим график функции изображенной на рисунке и определим промежутки возрастания и убывания функции.
(-∞, a), (c, +∞) – убывает;
(a, b) – постоянная;
(b, c) – возрастает.
Применим понятие производной для исследования возрастания и убывания функции.
Теорема 1. (Необходимое и достаточное условия возрастания функции)
-
Если дифференцируемая функция y=f(x) возрастает на [a, b], то ее производная неотрицательна на этом отрезке, f '(x)≥ 0.
-
Обратно. Если функция y=f(x) непрерывна на [a, b], дифференцируема на (a, b) и ее производная положительна на этом отрезке,f ' (x)≥ 0 для a<x<b, то f(x) возрастает на[a, b].
Доказательство.
-
Докажем первую часть теоремы. Итак, пусть функция y=f(x) возрастает на [a, b]. Зафиксируем на этом отрезке произвольную точку x, придадим ей приращение Δx. Тогда если Δx>0, то x<x+Δx. Поэтому по определению возрастающей функции f(x)<f(x+Δx), то есть f(x+Δx) - f(x)>0. Но тогда и Аналогично, если Δx<0, то x>x+Δx и значит f(x+Δx)-f(x)<0, а
Переходя в этом равенстве к пределу при Δx→0, получим , то есть f '(x)≥0.
-
Докажем вторую часть теоремы. Пусть f '(x)>0при всех x Î (a,b). Рассмотрим два любых значения x1 и x2 таких, что x1 < x2. Нужно доказать, что f(x1)< f(x2). По теореме Лагранжа существует такое число c Î (x1, x2), что . По условию f '(x)>0, x1 – x2>0Þ , а это и значит, что f(x) – возрастающая функция.
Аналогичная теорема имеет место и для убывающих функций.
-
Теорема 2. Если f(x) убывает на[a,b], то на этом отрезке. Если на (a; b), то f(x) убывает на [a, b],в предположении, чтоf(x) непрерывна на [a, b].
Доказанная теорема выражает очевидный геометрический факт. Если на [a, b] функция возрастает, то касательная к кривой y=f(x) в каждой точке этого отрезке образует острый угол с осью Ox или горизонтальна, т.е. tga≥0, а значит f '(x)≥0.
Аналогично иллюстрируется и вторая часть теоремы.
Таким образом, возрастание и убывание функции характеризуется знаком ее производной. Чтобы найти на каком промежутке функция возрастает или убывает, нужно определить, где производная этой функции только положительна или только отрицательна, то есть решить неравенства f '(x)>0 – для возрастания или f '(x)<0 – для убывания.