Вопрос № 7

Теорема разложений определителя по элементам ряда

Определитель равен сумме произведений элементов на соответствующее им

алгебраическое дополнение.

Берем любые N чисел и умножим на алгебраическое дополнение какой-либо строки.

Вопрос № 10 Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Метод Гаусса.

Сначала следует привести систему к треугольному (ступенчатому) виду, а затем

ступенчато решить.

Формула Крамера.

Подсчитать определитель матрицы А.

Затем матрицей B заменить первый столбец матрицы А, подсчитать определитель и

разделить его на detA, так мы получим x₁. То же самое проделать со

2-ым и 3-им столбцом.

Вопрос № 8 Матрица, обратной данной и ее вычисление

Матрица обратная данной - это матрица, при умножении на которую данной в результате получается единичная матрица.

Условие обратной матрицы

Итак, если матрица получилась вырожденной, то на этом заканчиваем, т.к. решить обратную матрицу невозможно.

В противном случае, приступим к заполнению обратной матрицы. Для этого надо найти дополнения. Их количество всегда равно числу элементов матрицы. Если матрица третьего порядка, значит у нее 9 элементов, у каждого свое дополнение и все эти дополнения надо искать.

Покажу на примере схемы, как найти дополнение элемента, стоящего в первой строке второго столбца, значит элементы, стоящие в первой строке и втором столбце надо вычеркнуть. Оставшиеся элементы (их 4) - записываем в новый определитель, умноженный на (-1) в степени (1+2), где 1 и 2 -номера строки и столбца.

После нахождения всех дополнений составляем обратную матрицу, она представляет собой транспонированную матрицу к той, которая составлена из полученных дополнений, деленная на определитель исходной матрицы. Вот почему важно, чтобы матрица была невырожденной (на нуль ведь делить нельзя).

Рассмотрим на примере нахождение обратной матрицы:

Пусть дана матрица В:

Найдем ее определитель:

Определитель равен 232, это не ноль, значит матрица невырожденная и для нее можно найти обратную матрицу.

Для этого найдем 9 дополнений:

Дополнение для элемента, стоящего в первой строке первого столбца:

Дополнение для элемента, стоящего в первой строке второго столбца:

Дополнение для элемента, стоящего в первой строке третьего столбца:

Теперь определим следующие три дополнения для второй строки:

И последние три для третьей строки:

Теперь составим обратную матрицу:

Матрица обратная данной найдена.

Вопрос № 20-(40) Производные высших порядков Механистический смысл 2ой производной

Пусть функция y=f(x) дифференцируема на некотором отрезке [a; b]. Значение производной f'(x), вообще говоря, зависит от x, т.е. производная f'(x) представляет собой тоже функцию переменной x. Пусть эта функция также имеет производную. Дифференцируя ее, получим так называемую вторую производную от функции f(x).

Производная от первой производной называется производной второго порядка или второй производной от данной функции y=f(x) и обозначается y''или f''(x). Итак, y'' = (y')'.

Например, если у = х⁵, то y'= 5x⁴, а y''= 20x⁴.

Аналогично, в свою очередь, производную второго порядка тоже можно дифференцировать. Производная от второй производной называется производной третьего порядка или третьей производной и обозначается y'''или f'''(x).

Вообще, производной n-го порядка от функции f(x) называется производная (первая) от производной (n – 1)-го порядка и обозначается символом y⁽ⁿ⁾ или f⁽ⁿ⁾(x): y⁽ⁿ⁾ = (y^(n-1))'.

Таким образом, для нахождения производной высшего порядка от данной функции последовательно находят все ее производные низших порядков.